兩圓
- “曲曲聯(lián)立”產(chǎn)生的錯誤及錯因分析
理的是:我們在求兩圓的相交弦方程時,兩圓方程相減,只有在這兩圓相交時得到的方程才是相交弦方程;若是兩圓相離,也能減出一條直線方程(兩圓的根軸),但這時的兩圓卻是沒有公共點的.二、“韋達定理”失效若不加這個限制條件,可得到如下結(jié)論:令f(x)=b2x2-2pa2x-a2b2,則f(-a)=2pa3>0,f(0)=-a2b2
高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2022年17期2022-10-26
- 巧用分類討論法解答與圓有關(guān)的多解問題
cm.三、當相交兩圓的圓心與公共弦的位置不明確時應(yīng)分類討論當兩圓相交時，它們的圓心與公共弦的位置關(guān)系通常有兩種情形：一是相交兩圓的圓心在公共弦的同側(cè);二是相交兩圓的圓心在公共弦的異側(cè).所以在求解相交圓的圓心距問題時，若相交兩圓的圓心與公共弦的位置關(guān)系未知，同學(xué)們要注意分類討論.例3 若兩圓相交，且它們的半徑分別為10和9，公共弦為12，則這兩個圓的圓心距為（ ）.分析：對于此題，不少同學(xué)容易錯選A項或B項.這是因為他們分析時考慮不夠周全，忽略了分類討論，以
語數(shù)外學(xué)習(xí)·初中版 2022年7期2022-05-30
- 由一道兩圓公共弦所在直線的方程問題引發(fā)的思考
葛彩云如果兩圓相交，那么這兩個圓就會有兩個交點，這兩個交點的連線就稱為兩圓的公共弦.該弦較為特殊，弦的端點分別在兩個圓上，端點的坐標滿足兩個圓的方程.那么如何求兩相交圓公共弦所在直線的方程呢？下面，我們一起來探究一道題目.例1.求兩個圓 x2+ y2+3x - y =0和3x2+3y2+2x + y =0公共弦所在直線的方程.仔細研究本題，可以發(fā)現(xiàn)，將（1）×3-（2），消去兩圓的方程中二次項后的方程為7x -4y =0，該方程即為所求的兩圓公共弦所在直線
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版下旬 2022年12期2022-03-09
- 一道美國數(shù)學(xué)奧林匹克題的八種證法
AB和AC分別是兩圓的直徑，所以點D是兩圓的交點，故由相交弦定理可得MH·HN=AH·HD=PH·HQ.因此，M、N、P、Q四點共圓.圖4證法四：如圖5，因為BE、CF分別是銳角△ABC的兩條高，所以∠CFB=∠CEB=90°，所以B、C、E、F四點共圓.又因為AB和AC為兩圓的直徑，所以點E和點F均為圓上的點.注意到B、M、E、N，P、Q、C、F均為四點共圓，故利用相交弦定理可得MH·HN=BH·HE=CH·HF=PH·HQ，故M、N、P、Q四點共圓.圖
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2021年11期2021-11-17
- 定向分布于兩圓上的兩點間距離最值的探求
1 兩點連線段與兩圓心連線段垂直時為便于闡明探求方法,先舉一個簡單的例子.例1已知點P在圓C1:x2+y2=1上,點Q在圓C2:(x-2)2+y2=4上,且PQ⊥x軸,求P,Q兩點間距離的最大值.分析當兩圓相交時,P,Q兩點間距離的最小值為0，故不予研究.為求P,Q兩點間距離的最大值,由對稱性不妨設(shè)P在x軸上方、Q在x軸下方(如圖1).圖1圖22 兩點連線段與兩圓心連線段不垂直時為便于闡明探求方法,仍先舉一個簡單的例子.圖3將直線PQ與C1的方程聯(lián)立消去y
數(shù)學(xué)通報 2021年8期2021-10-08
- 隱私保護的兩方幾何圓位置關(guān)系判定*
方案.隱私保護的兩圓位置關(guān)系判定中, 參與兩方各自輸入秘密的圓的半徑和圓心等信息, 聯(lián)合判定二方的位置關(guān)系且不會泄露各自輸入的信息. 該類問題具有重要意義, 例如, 不同用戶的社交圈中, 在不泄露自身好友信息的情況下判定是否具有共同社會交集且實現(xiàn)各用戶社交信息的保密[18]. 為解決保密計算兩圓公切線問題, Wang 等人[19]提出了安全計算兩圓間的公切線協(xié)議, 并實現(xiàn)隱私保護的路徑規(guī)劃問題. Ye 等人[20]給出了計算兩秘密輸入的相交圓交點的協(xié)議.
密碼學(xué)報 2021年1期2021-03-19
- 例談增根的產(chǎn)生與作用
容易產(chǎn)生增根，但兩圓聯(lián)立不產(chǎn)生增根，這是為什么呢？二、探索兩圓聯(lián)立不產(chǎn)生增根的原因①當兩圓相交時，顯然根軸為公共弦所在的直線，根軸與兩圓的兩個公共點即是兩圓的兩個公共點；②當兩圓外切時，兩圓的1個公共點在根軸上，且d=r1+r2．下面證明根軸與兩圓只有一個公共點．所以，兩圓外切時，兩圓的1個公共點即根軸與兩圓的1個公共點；③當兩圓內(nèi)切時，兩圓的1個公共點在根軸上，設(shè)r2所以，兩圓內(nèi)切時，兩圓的1個公共點即根軸與兩圓的1個公共點；所以，兩圓內(nèi)含時，兩圓無公共
數(shù)理化解題研究 2021年4期2021-03-11
- 圓中常用輔助線的作法
進行求解.三、遇兩圓相切，作公切線當題目的已知條件中有兩個圓相切的條件時，常常過切點作它們的公切線，得到弦切角，然后利用弦切角定理獲得相等的角，從而尋找解題途徑. 一般地，若兩圓外切，則添加“外公切線”;若兩圓內(nèi)切，則添加“內(nèi)公切線”.例3 ?如圖3，已知：⊙、⊙外切于點，是⊙上一點，直線切⊙于點交⊙于點，直線交⊙于點.（1）求證：平分∠;（2）將“⊙、⊙外切于點”改為“⊙、⊙內(nèi)切于點”，其它條件不變.（1）中的結(jié)論是否仍然成立？畫出圖形并證明你的結(jié)論.分
語數(shù)外學(xué)習(xí)·初中版 2021年12期2021-02-16
- 直線與圓的位置關(guān)系（2）
有一組實數(shù)解，則兩圓外切B.如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交C.從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程D.若直線與圓只有一個公共點，則直線與圓一定相切2.圓C1：（x+1）2+（y+2）2=4與圓C2：（x-1）2+（y+1）2=9的位置關(guān)系是（ ）A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離3.已知直線l：y=kx+2（k∈R），圓M：（x-1）2+y2=6，圓N：x2+（y+1）2=9，則（ ）A.l必與圓M相切
新世紀智能(數(shù)學(xué)備考) 2021年12期2021-02-11
- 求圓問題勿忘雙解
類討論.二、相切兩圓的位置關(guān)系不確定例2（2019·陜西·寶雞）已知[⊙O]與半徑為2和8的兩同心圓都相切，則[⊙O]的半徑[R=] .解：由于兩圓相切有外切和內(nèi)切兩種形式，所以應(yīng)考慮兩種情況：①如圖3，[⊙O]與半徑為8的圓內(nèi)切于[A]，與半徑為2的圓外切于[C]，則[R=3].②如圖4，[⊙O]與半徑為8的圓內(nèi)切于[A]，與半徑為2的圓內(nèi)切于[C]，則[R=5].故填3或5.點評：相切有內(nèi)切、外切兩種形式，本題又涉及三個圓，故需要分類討論.（2
初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)·中考版 2020年10期2020-09-10
- 巧用數(shù)軸表示圓與圓的位置關(guān)系
別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，從下面的圖可以看出，平面上兩圓的位置關(guān)系有五種，可以從兩圓的圓心距與兩圓的半徑大小關(guān)系來判斷.(1)當d>r1+r2時，圓C1與圓C2相離；(2)當d=r1+r2時，圓C1與圓C2外切；(3)當|r1-r2|(4)當d=|r1-r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)切;(5)當d<|r1-r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)含.二、結(jié)合數(shù)軸展示圓與圓的位置關(guān)系從上面圓與圓的位置我們發(fā)現(xiàn)，圓心距d的值與r1+r2,|r1-r2|的值的大小關(guān)系決定
數(shù)理化解題研究 2020年16期2020-06-06
- 由教材一例題引發(fā)的思考
-2=0，試判斷兩圓的位置關(guān)系。在解題過程中，當兩圓方程相減得x+2y-1=0此直線為兩圓公共弦所在的直線。試想C2將變?yōu)镃3：x2+y2-4x-4y+4=0時，C1與C3相離，此時C1與C3的方程之差x+2y-2=0，此直線和C1與C3都相離，它又有何幾何意義？為了解決此問題，需要從圓冪定理和根軸談起。一、點到圓的冪設(shè)P為圓O所在平面內(nèi)任意一點，PO=d，圓O的半徑為r，則d2-r2就是點P對圓O的冪，記k=d2-r2(k∈R)。二、圓冪定理是平面幾何中
中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究 2019年15期2019-11-20
- 例析圓題中的“安全隱患”
是( )A.l為兩圓的公共弦所在的直線B.l為兩圓的連心線C.l為兩圓的一條公切線D.l上任一點引兩圓的公切線長度相等錯解:將圓C1和C2的方程作差得(x2+y2-1)-[(x-3)2+(y-4)2-4]=0，整理得3x+4y-11=0，即直線l的方程，設(shè)兩圓的交點為M1(x1,y1)，M2(x2,y2)，易知點M1,M2均在直線l上，故l為C1和C2的公共弦所在的直線.故選A.點評:該題因思維定式而產(chǎn)生“安全隱患”，誤認為兩圓C1和C2作差得到的方程永遠
教學(xué)考試(高考數(shù)學(xué)) 2019年4期2019-08-03
- “公共弦”的那些事兒
主要針對幾道有關(guān)兩圓相交時涉及的公共弦問題加以剖析，與大家共勉.一、求公共弦方程題目1已知圓C1：x2+y2=1，圓C2：x2+y2-2x-2y+1=0，試求兩圓的公共弦所在的直線的方程.思路分析1：因為兩圓的公共弦由兩圓相交時產(chǎn)生的兩個交點確定，所以最直接的解法就是先求出兩圓的交點坐標，然后再去求公共弦所在的直線方程.解法1：將兩圓的方程聯(lián)立得，解得即兩圓的交點為（0，1），（1，0），所以公共弦所在直線的斜率為k=-1.故公共弦所在的直線方程為y=-x
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2019年13期2019-08-03
- 對兩圓的冪之比為定值的點的軌跡方程
的平方.引理1對兩圓的冪相等的點的軌跡是一條垂直于連心線的直線.圖1證明設(shè)點P對⊙O1、⊙O2的冪相等,作PH⊥O1O2,垂足為H.記|O1O2|=d,|O1H|=d1,|O2H|=d2,則d=d1+d2.由點對圓的冪的定義知即,所以即由方程組解得:這個結(jié)果與點P無關(guān),即不論點P的位置如何,H均為一固定點,這表明點P在O1O2的過H的垂線上.反之,因上面的證明可逆,所以這條直線上的任意一點關(guān)于這兩圓的冪相等.這條直線—對兩圓的冪相等的點的軌跡,稱為這兩圓的
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2019年9期2019-06-24
- 淺談如何抓好畢業(yè)班數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)工作
解答。1.甲、乙兩圓的直徑各是多少12.56÷3.14=4（厘米）31.4÷3.14=10（厘米）2.甲、乙兩圓的半徑各是多少12.56÷3.14÷2=2（厘米）31.4÷3.14÷2=5（厘米）3.甲、乙兩圓的面積各是多少12.56÷3.14÷2=2（厘米）31.4÷3.14÷2=5（厘米）3.14×22=12.56（平方厘米） 3.142×5=78.5（平方厘米）4.甲、乙兩圓的半徑的比是幾比幾12.56÷3.14÷2=2（厘米）31.4÷3.14÷2
衛(wèi)星電視與寬帶多媒體 2018年14期2019-01-29
- 倡導(dǎo)學(xué)導(dǎo)式教學(xué)，提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)效率——以蘇教版“圓與方程——圓與圓的位置關(guān)系”為例
置關(guān)系均可以通過兩圓半徑和圓心距的關(guān)系得到說明，設(shè)兩圓半徑為r1和r2，兩圓的圓心距為d，則可以通過r1、r2和d 表示五種位置關(guān)系的表達式，即外離為r1+r2＜d，外切為r1+r2=d 等。部分同學(xué)會對兩圓相交、內(nèi)切和內(nèi)含的表達式推導(dǎo)存在問題，可能是由兩圓半徑大小關(guān)系以及不等式的問題導(dǎo)致推導(dǎo)困難，這就是學(xué)生在自學(xué)環(huán)節(jié)發(fā)現(xiàn)的自己的問題，可以在發(fā)現(xiàn)問題后求助老師得到解答。二、解疑解疑階段是指基于學(xué)生自學(xué)的前提下提出的問題和難點，通過自主練習(xí)、小組討論或求助教
數(shù)學(xué)大世界 2019年28期2019-01-11
- 本是同“根”生
的方程相減，得到兩圓公共弦所在直線方程，如果將兩個不相交的圓的方程相減，會得到什么呢？它具有什么性質(zhì)呢？很明顯，這個方程表示的是一條直線l。它有什么性質(zhì)呢？設(shè)點 為直線上的任意一點，由（*）式可得：即，所以，可知 。這說明，將兩圓的方程作差可以得到一條直線方程l，過l上的任意一點作兩圓的切線，則兩切線長相等，這條直線叫做兩圓的“根軸”。利用這一結(jié)論，我們可以方便地解題。二、根軸的由來和相關(guān)性質(zhì)1．根軸的定義和方程平面幾何中有一條著名的定理——圓冪定理：過平
成功 2018年11期2018-12-28
- 用兩圓有公共點的充要條件解題
法2可知，題意即兩圓x2+y2=m2，（x-3）2+（y-4）2=1有公共點.由數(shù)形結(jié)合知，當且僅當兩圓內(nèi)切（此時圓C是小圓）時圓x2+y2=m2最大也即m最大，此時得圓心距5=m-1，m=6（還可得：當且僅當兩圓外切時圓x2+y2=m2最小也即m最小，此時得圓心距5=m+l，m=4）.例2（2013年高考江蘇卷第17題）如圖2，在平面直角坐標系zOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.（l）若圓心C也在直線y=x-1上
新高考·高一數(shù)學(xué) 2018年8期2018-12-03
- 談圓與圓的位置關(guān)系相關(guān)問題的處理
之一.為此我們對兩圓的位置關(guān)系問題做了一個研究，望能給同學(xué)們的學(xué)習(xí)帶來裨益.下面舉例談?wù)?基礎(chǔ)知識點2.兩圓相切：它們的圓心及切點滿足三點共線.相關(guān)問題處理例1 求過點A（6，0）且與圓C：x2+y2+10x+10y=0切于原點的圓的方程.分析 兩圓相切，它們的切點及其圓心在同一條直線上，圓任意弦的垂直平分線過圓心.分析 圓的面積最小意味著其半徑最小，這是解決問題的突破口.例4 已知圓x2+y2=m與圓x2+y2+6x-8y-I1=0相交，求實數(shù)m的取值范
新高考·高一數(shù)學(xué) 2018年8期2018-12-03
- 一個幾何問題的證明與推廣
D為直徑作圓，則兩圓相交弦XY中點R的軌跡是圓.好多天過去了，沒人給出解答，我自己給出一個證明，十分煩瑣：證明(1)設(shè)A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)、M(xM,yM)、N(xN,yN),直線AB方程：y=k(x-c)代入橢圓方程化簡得：(b2+a2k2)x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0,同理(2)以AB為直徑的圓方程：(x-xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)=0,即x2-(xA+xB)x+x
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 2018年2期2018-04-24
- 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“與圓相關(guān)的兩類直線”探究
=r2的實質(zhì)以及兩圓方程相減所得直線的實質(zhì)進行了廣泛探究.其實，這兩類直線分別是圓的極線和定冪差線，本文試圖對這兩類直線加以介紹，以饗讀者.一、圓的極線1.圓的極線與極點的概念.設(shè)圓O是平面上半徑為r的定圓，M是平面上異于點O的任一點，在射線OM上，求一點M′使OM·OM′=r2；過點M′且垂直于OM的直線l叫作點M關(guān)于圓O的極線，M點叫作直線l的極點.依據(jù)定義很容易得到以下性質(zhì)：2.圓心O與極點M的連線OM和極線l垂直.3.設(shè)圓心O到極線l的距離為d，則
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 2018年4期2018-03-20
- 一道判斷題的處理策略及思考
關(guān)知識就能推出：兩圓的周長相等→兩圓的直徑相等→兩圓的半徑相等→兩圓的面積相等。那么學(xué)生在想什么呢？什么樣的負遷移導(dǎo)致他們出錯呢？師：你們是怎么想的？生：周長和面積無法比較。原來如此！從五年級開始，他們就知道了，周長和面積是兩種完全不同的量，因此無法比較。所以，當看到“周長”“面積”“相等”這些關(guān)鍵字眼時，學(xué)生不假思索，第一反應(yīng)就是——錯！辨析題：一個半徑是2厘米的圓，它的周長和面積相等。師：這種說法對嗎？為什么？生：錯。因為他把圓的周長和面積進行比較。師
小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版) 2018年6期2018-01-24
- 以“圓”為背景的取值范圍問題的幾種轉(zhuǎn)化策略
的距離的最大值為兩圓的圓心距加上兩圓的半徑長，當兩圓相外離時，最小值為兩圓的圓心距減去兩圓的半徑長；當兩圓相交或相切時，最小值為零；當兩圓內(nèi)含時，最小值為大圓半徑減去圓心距再減去小圓半徑.如果將所求的距離轉(zhuǎn)化為兩圓上兩動點間的距離，則能夠很容易求出取值范圍.圖4本題中兩個關(guān)鍵點：一是平面向量加法的平行四邊形法則要比較熟悉，二是涉及到圓中的弦長問題想到用垂徑定理解決.這兩個關(guān)鍵點都是學(xué)生掌握得比較好的，所以不少學(xué)生做起來比較順利.本題將向量的模長取值范圍問題
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2017年11期2017-12-22
- 巧解考題 源于“構(gòu)造”
求直線的條數(shù)明確兩圓的位置關(guān)系,利用“數(shù)形結(jié)合思想”易知公切線的條數(shù),活用之,可迅速求解有關(guān)涉及直線的條數(shù)問題.例4(2004·全國卷II)在坐標平面內(nèi),與點A(1,2)的距離為1,且與點B(3,1)的距離為2的直線共有( )A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條解析以點A為圓心,以1為半徑構(gòu)造圓A:(x?1)2+(y?2)2=1;以點B為圓心,以2為半徑構(gòu)造圓B: (x?3)2+(y?1)2=4.因為所以圓A與圓B相交,從而兩圓的公切線(只有2條
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東) 2017年9期2017-06-15
- 圓易錯題剖析
不到位．解析 設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，∵兩圓外切，可知兩圓的半徑之和等于圓心距，即R+r=O1O2，∴R=O1O2－r=10－6=4．故選C．例6 如圖3在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O為內(nèi)切圓，E為切點，求∠AOD的度數(shù)．易錯點 對與內(nèi)切圓有關(guān)的概念理解不到位解析 ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAD=180°．又⊙O內(nèi)切于梯形ABCD，∴OA，OD分別是∠BAD與∠ADC的角平分線例7 如圖4，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，過A點作A
數(shù)理化解題研究 2017年2期2017-04-13
- 迷你垃圾桶
相同大小的圓片，兩圓片之間放一根比圓片直徑長一些的鐵絲。3.除鐵絲部分，兩圓片間的其余部分全部粘貼住，使兩圓片以鐵絲為中軸可旋轉(zhuǎn)。4.將圓片還原到挖下的位置，并在這1/5部分的反面將鐵絲兩端固定，垃圾桶的蓋子制作完成。5.剩下的4/5部分，沿切口內(nèi)邊緣，用長條形硬卡紙圍合一圈且高出切口。6.將塑料瓶切成與4/5餅干筒一致的高度，并放置于其中，做成垃圾桶的桶身。7.將做好的桶蓋蓋在桶身上，可自行裝飾成喜歡的外形。圖片由本文作者提供編輯朱璐zhulu83@12
莫愁 2017年9期2017-04-07
- 再談兩圓公共弦所在直線方程
出了新的問題：“兩圓不相交時，方程作差仍可得到二元一次方程，這個方程所反映的直線與已知兩圓是什么關(guān)系？”該問題的提出很自然且很有價值，一方面，脫離開幾何直觀意義的代數(shù)運算就變成了純形式化的操作，往往容易忽視操作本身的意義；另一方面，在解析幾何中，方程具有直觀意義——曲線，當曲線關(guān)系與方程的運算關(guān)系之間建立不起聯(lián)系時，學(xué)生就產(chǎn)生了困惑。這個困惑恰恰可以反映出解析幾何的思維本質(zhì)特征，同時也反映出學(xué)生在數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng)上還有待提高。教學(xué)內(nèi)容蘊涵的數(shù)學(xué)思維活動分析：
中國教師 2017年6期2017-03-31
- 聚焦圓與圓的位置關(guān)系的基本問題
王佩其我們知道，兩圓的半徑為R，r，兩圓的圓心距為d，當d＞R+r時，兩圓外離；當d=R+r時，兩圓外切；當|R—r|＜d＜R+r時，兩圓相交；當d=|R—r|時，兩圓內(nèi)切；當d＜|R—r|時，兩圓內(nèi)含。在解析幾何中，圓與圓的位置關(guān)系主要涉及哪些基本問題呢？下面舉例解析。一、兩圓相交時求公共弦長例 1 已知圓Cl：x2+y2+2x—6y+l=0，圓C2：x2+y2—4x+2y—ll=0，求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長。解：由圓Cl的方程與圓C2的方
中學(xué)生數(shù)理化·高一版 2017年12期2017-02-26
- 直線與圓中兩個關(guān)聯(lián)問題的探究
F2=0.(注:兩圓圓心不同)(1)若兩圓相交于A,B兩點,求直線AB的方程(即公共弦方程);(2)若兩圓外切,(1)中求得的方程表示什么?外離、內(nèi)切、內(nèi)含呢?這個關(guān)聯(lián)問題中的(1)和(2)又有什么聯(lián)系呢?對于(1)，設(shè)交點A(x1,y1),B(x2,y2),則兩式相減，得(D1-D2)x1+(E1-E2)y1+F1-F2=0；⑤同理有(D1-D2)x2+(E1-E2)y2+F1-F2=0.⑥由⑤ ⑥ 兩方程知，點A(x1,y1),B(x2,y2)同時滿足
高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2016年22期2016-12-17
- 與兩定圓相切的動圓圓心的軌跡問題
半徑大小不相等①兩圓外離：軌跡為雙曲線的一支(靠近半徑較小的一側(cè))例1 動圓P與定圓C1:(x+2)2+y2=1和C2:(x-2)2+y2=4均外切，求P點的軌跡.②兩圓外切或相交：軌跡為雙曲線在兩定圓外的部分.③兩圓內(nèi)切：軌跡為一條自切點在兩圓心連線上向外引出的射線.例2 動圓P與定圓C1:(x+2)2+y2=1和C2:x2+y2=9均外切，求P點的軌跡.解 ∵r2-r1=|C1C2|=2，則兩圓內(nèi)切，如圖2，由圖易得所求軌跡為射線，其方程為y=0(x<
數(shù)理化解題研究 2016年28期2016-12-16
- 平面三次PH過渡曲線的構(gòu)造
三次PH曲線構(gòu)造兩圓之間的過渡曲線(兩圓不相互包含的情況)，該過渡曲線滿足G2連續(xù)條件。因為在兩圓不相互包含的情況下,曲線兩端點處曲率同號,所以能構(gòu)造出C型過渡曲線。在一定條件下,可以證明兩圓之間存在唯一的三次PH過渡曲線。此外,文章還給出了該過渡曲線的構(gòu)造算法,并通過實例驗證了該方法的有效性。三次PH曲線;G2連續(xù);過渡曲線;曲率0 引 言平面G2連續(xù)過渡曲線可用于2條曲線(如兩圓弧)間的光滑拼接。一般地,G2連續(xù)過渡曲線在端點處保持切向量平行且曲率相等
- “圓”中錯解，你有過嗎？
切線.易錯點3當兩圓相切時，只考慮一種情況造成漏解例3半徑分別為1 cm和2 cm的兩圓外切，那么與這兩圓都相切且半徑為3 cm的圓的個數(shù)有（）.A.2個B.3個C.4個D.5個【錯解】A或C.【錯解分析】錯選A的原因是只考慮所求圓與已知兩圓外切的情形；錯選C的原因是考慮所求圓與已知兩圓都外切的情形，以及與其中一圓內(nèi)切、另一圓外切的情形，漏掉了與兩圓都內(nèi)切的情形.所求圓與已知兩圓的位置關(guān)系有五種情形：與兩個圓都外切，符合條件的圓有兩個；與其中一個內(nèi)切，另一
初中生世界 2016年23期2016-08-20
- 讓幾何畫板走進高中數(shù)學(xué)課堂
動態(tài)按鈕——任意兩圓（圖1），這樣按下按鈕時，兩圓可以在頁面上隨意運動（構(gòu)造圓時利用以圓心和圓周上的點作圓即可，添加圓心運動路徑并將其隱藏），在運動的同時教師設(shè)問思考（利用文字工具添加文字，再給文字添加顯示隱藏按鈕即可）：動態(tài)兩圓有哪些位置關(guān)系？這樣自然而然地引出本節(jié)課所研究的問題。（二）講授新課——形的角度探討任意兩圓的位置關(guān)系設(shè)置動態(tài)按鈕——位置關(guān)系展示七種位置關(guān)系（圖2），這可以在初中學(xué)過的五種位置關(guān)系的基礎(chǔ)上增加兩種——重合和同心。學(xué)生因此會暗自思
現(xiàn)代職業(yè)教育·職業(yè)培訓(xùn) 2016年9期2016-05-30
- 試探以圓錐曲線的垂直弦為直徑的圓
B、CD為直徑的兩圓相交，則兩圓公共弦恒過定點圖1證明:(如圖1)當直線AB、CD的斜率均存在且不為零時，設(shè)直線AB的方程為y=k(x-x0)+y0，代入mx2+ny2=1，并整理得(m+nk2)x2+2kn(y0-kx0)x+n(y0-kx0)2-1=0，=-n[mx0(1-k2)+(m+n)ky0]·(x-所以兩圓公共弦恒過定點當直線AB、CD中有一條斜率不存在或為零時，可以驗證兩圓公共弦也過定點T．另一方面，設(shè)以弦AB、CD為直徑的兩圓圓心分別為M、
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2016年2期2016-04-06
- 眾里尋他千百度——對內(nèi)含兩圓切接三角形存在性的探索
千百度——對內(nèi)含兩圓切接三角形存在性的探索●金竹明(洛舍鎮(zhèn)中心學(xué)校浙江德清313218)我們知道，等邊三角形每個角的內(nèi)角平分線、對邊上的中線、對邊上的高線都互相重合，即每條邊上都三線合一．因為三角形的內(nèi)心是3個內(nèi)角平分線的交點，外心是3條邊中垂線的交點，所以等邊三角形的內(nèi)心與外心重合，即等邊三角形的內(nèi)切圓與外接圓是同心圓．筆者在教授了三角形的內(nèi)切圓的新課后，在課后練習(xí)中碰到了一個習(xí)題：若△ABC的內(nèi)切圓和外接圓是2個同心圓，則△ABC一定是()A．等邊三角
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2015年10期2016-01-06
- 圓與圓的位置關(guān)系
關(guān)系共五種，是由兩圓的公共點個數(shù)來定義的. 即兩圓沒有公共點——外離或內(nèi)含；兩圓有唯一公共點——外切或內(nèi)切；兩圓有兩個公共點——相交. 除定義外，既可根據(jù)兩圓半徑與圓心距的關(guān)系來判定，又可根據(jù)兩圓內(nèi)、外公切線的總條數(shù)來判定.endprint
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2015年6期2015-06-17
- 重點突破：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
①d>R+r？圳兩圓外離？圳兩圓僅有4條公切線；②d=R+r？圳兩圓外切？圳兩圓僅有3條公切線；③d=R-r？圳兩圓內(nèi)切？圳兩圓僅有1條公切線；④R-r⑤d（2）代數(shù)法：聯(lián)立兩圓的方程，若方程有兩組不同實數(shù)解？圳兩圓相交；若方程有一組實數(shù)解？圳兩圓相切；若方程沒有實數(shù)解？圳兩圓相離或內(nèi)含.在討論直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時，一般不用代數(shù)法，而用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系、圓心距與半徑的大小關(guān)系，分別確定相交、相切、相離的位置關(guān)系.5. 圓與圓的公共弦
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2015年1期2015-03-31
- 關(guān)于圓中常用輔助線的添加
和⊙O2是相交的兩圓，由連心線與公共弦的關(guān)系可知BO2為角平分線，然后利用全等三角形可得出BM=BN和BC=BD，從而得出結(jié)果。五、作圓心連接線兩圓相交時，圓心連接線垂直平分兩圓的公共弦;兩圓相切時，圓心連接線一定經(jīng)過切點。通過作兩圓的圓心連接線，可以將公共弦、兩圓半徑、圓心距之間的關(guān)系緊密聯(lián)系。例5 如圖5所示:⊙O1與⊙O2相切于點M，⊙O1的半徑為r，⊙O2的半徑為3r，AB是⊙O1和⊙O2的公共切線，A和B分別是兩圓的切點，求:(1)切線AB的長度
亞太教育 2015年30期2015-01-30
- 圓與圓的位置關(guān)系
關(guān)系共五種，是由兩圓的公共點個數(shù)來定義的. 即兩圓沒有公共點——外離或內(nèi)含；兩圓有唯一公共點——外切或內(nèi)切；兩圓有兩個公共點——相交. 除定義外，既可根據(jù)兩圓半徑與圓心距的關(guān)系來判定，又可根據(jù)兩圓內(nèi)、外公切線的總條數(shù)來判定.已知圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，半徑為1的圓與圓C有公共點，求k的最大值.破解思路 本題考查兩圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系. 以直線上的點為圓心，半徑為1的圓與圓C有公
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版 2014年6期2014-08-11
- 合作引領(lǐng)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有效性的體現(xiàn)
種位置關(guān)系；了解兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系.2.能力目標：培養(yǎng)學(xué)生的觀察、想象、分析、動手操作、概括的能力和“類比、分類討論”數(shù)學(xué)思想.3.情感目標：體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂，在快樂中體現(xiàn)知識源于實踐，又運用于生活.同時培養(yǎng)學(xué)生運用類比的思想解決生活問題的能力.二、教學(xué)重點、難點：重點：識別圓和圓的位置關(guān)系及判定.難點：圓心距與兩圓半徑之間的數(shù)量關(guān)系來判定兩圓的位置關(guān)系.三、教學(xué)方法：類比引領(lǐng)，合作探究.四、教學(xué)手段：課件、細鐵絲制
黑龍江教育(教育與教學(xué)) 2014年12期2014-02-17
- 動圓探索型問題賞析
點A出發(fā)后多少秒兩圓相切.分析：由題意可知，A，B的距離越來越小，直至兩點重合，而后兩點距離逐漸增大.故要進行分類討論.兩圓相切意味著可以內(nèi)切，也可以外切，因此，解決此題的前提是認真審題.解：（1）當0≤t≤5.5時，函數(shù)表達式為d=11-2t；當t＞5.5時，函數(shù)表達式為d=2t-11.（2）兩圓相切可分為如下四種情況：①當兩圓第一次外切，由題意可得11-2t=1+1+t，t=3；③當兩圓第二次內(nèi)切，由題意可得2t-11=1+t-1，t=11；④當兩圓第
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年6期2012-08-28
- 解析交點圓系方程的幾何意義
——讀《兩圓無交點，圓系為何意》有感
何意義 ——讀《兩圓無交點，圓系為何意》有感●姚華鵬(中山紀念中學(xué) 廣東中山 528454)筆者閱讀了文獻[1]后，對作者的研究精神深表敬意.不過,筆者認為文中給出的結(jié)論似乎有些牽強，以至于作者自己也承認結(jié)論沒有實際意義.因此,筆者對“兩圓相離、內(nèi)含時,圓系方程沒有實際意義”的說法心存疑慮.很多中學(xué)數(shù)學(xué)競賽資料提到交點圓系方程，但是均未能給出交點圓系方程的由來.對此筆者近期思索了一些相關(guān)問題，特撰文與大家商榷，以期通過定義距徑平方差揭開圓系方程的面紗.若圓
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2011年4期2011-11-21
- 兩圓無交點，圓系為何意
——記一次對虛圓系的探究過程
313000)兩圓無交點，圓系為何意 ——記一次對虛圓系的探究過程●劉薇陸麗濱(湖州市第二中學(xué) 浙江湖州 313000)1 起源在課堂上講解兩圓相交等知識時，筆者出示了人教A版數(shù)學(xué)必修2習(xí)題A組第10題：求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點，并且圓心在直線上的圓方程．這是一道典型的運用圓系思想、避免解交點的圓系問題．下面是筆者在課堂上講解課本例題的部分過程：教師：……同學(xué)們知道，只要令x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+
中學(xué)教研(數(shù)學(xué)) 2010年1期2010-12-01
- “圓與圓的位置關(guān)系”教學(xué)設(shè)計
進一步研究平面上兩圓的不同位置關(guān)系.本節(jié)課采取類比的方法進行教學(xué),通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生動眼、動手、動口等能力,同時也滲透了類比、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.圓與圓的組合圖形具有一些特殊的位置關(guān)系和性質(zhì),因此在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用,尤其在工業(yè)制造方面應(yīng)用較多.【教學(xué)目標】1.結(jié)合圖形辨認圓與圓5種位置關(guān)系,根據(jù)具體圖形說出相應(yīng)的位置關(guān)系名稱,能類比直線與圓的位置關(guān)系,通過公共點個數(shù)來決定圓與圓的5種位置關(guān)系.了解兩圓外切,內(nèi)切與兩圓圓心距d半徑R和r的數(shù)
黑龍江教育·中學(xué) 2009年11期2009-05-31
- 淺談數(shù)學(xué)概念的教學(xué)
概念后，明確了“兩圓心之間的距離叫做圓心距”。這個概念的重要作用就在于：根據(jù)兩圓的圓心距的大小和兩圓的半徑之間的關(guān)系來判定兩圓的位置關(guān)系。這時教師就應(yīng)設(shè)計這方面的題目讓學(xué)生練習(xí)并歸納出結(jié)論：當圓心距大于兩圓半徑之和時，兩圓外離；當圓心距等于兩圓半徑之和時，兩圓外切；當圓心距大于兩圓半徑之差而小于兩圓半徑之和時，兩圓相交；當圓心距等于兩圓半徑之差時，兩圓內(nèi)切；當圓心距小于兩圓半徑之差時，兩圓內(nèi)含。這樣以來，學(xué)生就對“圓心距”這個概念的應(yīng)用有了較深刻的認識。以
魅力中國 2009年5期2009-05-21
- 過兩圓交點的圓系方程的推導(dǎo)、拓廣及應(yīng)用
易出錯.但若用過兩圓交點的圓系方程，便可避免解方程組，從而減少了運算量，提高了解題速度和準確率.但是在過兩圓交點的圓系方程的教學(xué)中，教師并不能從現(xiàn)有知識結(jié)構(gòu)中給學(xué)生一個合理的邏輯解釋，只是告訴學(xué)生方程表示圓，此圓過兩圓的交點，所以許多學(xué)生懷疑過交點的所有圓其方程都可表示為這種形式.因此本文就圓系方程問題，從理論上給予證明和拓廣，并舉例說明圓系方程的妙用.
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年4期2008-12-09
- 例說有關(guān)圓典型問題的解法
°+ ∠A.六、兩圓位置關(guān)系的識別例10 （1） 已知兩圓的半徑分別為3和4，圓心距為8，那么這兩個圓的位置關(guān)系是（）.A． 內(nèi)切B． 相交C． 外離D． 外切（2） 如果兩圓的半徑分別為3和4，圓心距為7，那么兩圓的位置關(guān)系是（）.A． 相離B． 外切C． 內(nèi)切D． 相交（3） 已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為2和5，圓心距O1O2=3，則這兩圓的位置關(guān)系是（）.A． 相離B． 外切C． 相交D． 內(nèi)切（4） 若⊙A和⊙B相切，它們的半徑分別為8 cm和2
中學(xué)生數(shù)理化·中考版 2008年9期2008-12-01
- 兩圓相減為什么是直線
夠發(fā)現(xiàn)(3)是過兩圓交點的直線，也能說明理由.但當筆者按照教參的要求提出：“當兩圓相切、相離或內(nèi)含時，兩圓方程相減為什么還是直線方程?這條直線與兩圓在圖像特征上存在什么關(guān)系?同心時相減為什么又不是直線方程?”，讓學(xué)生在課外作為研究性學(xué)習(xí)的課題，基本上學(xué)生都不能完整解決這一課題.筆者向同行們請教，大家均說沒有深入思考過這一問題，說明旁注沒有引起數(shù)學(xué)教師們的重視.教參對各個習(xí)題均給出了解答，但對上述這么有意義的問題卻沒有給出參考答案或提示，筆者認為這實在是一個
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年11期2008-01-05
- 圓錐曲線一個有趣的三圓性質(zhì)
B、CD為直徑的兩圓公共弦中點的軌跡是以O(shè)T為直徑的圓.證明：設(shè)AB的方程為：x=ty+p2，代入y2=2px并整理得y2-2pty-p2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有y1+y2=2pt,y1y2=-p2,x1+x2=t(y1+y2)+p=2pt2+p,x1x2=(ty1+p2)?(ty2+p2)=p24.所以M(pt2+p2,pt).將t換成-1t得N(pt2+p2,-pt).由兩點式得直線MN的方程為x-(t-1t)y=3p2.當y=
中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年12期2008-01-05