李金興

(浙江省蕭山中學(xué) 311201)

1 兩點(diǎn)連線段與兩圓心連線段垂直時(shí)

為便于闡明探求方法,先舉一個(gè)簡單的例子.

例1已知點(diǎn)P在圓C1:x2+y2=1上,點(diǎn)Q在圓C2:(x-2)2+y2=4上,且PQ⊥x軸,求P,Q兩點(diǎn)間距離的最大值.

分析當(dāng)兩圓相交時(shí),P,Q兩點(diǎn)間距離的最小值為0，故不予研究.為求P,Q兩點(diǎn)間距離的最大值,由對(duì)稱性不妨設(shè)P在x軸上方、Q在x軸下方(如圖1).

圖1

圖2

2 兩點(diǎn)連線段與兩圓心連線段不垂直時(shí)

為便于闡明探求方法,仍先舉一個(gè)簡單的例子.

圖3

將直線PQ與C1的方程聯(lián)立消去y得

而將直線PQ與C2的方程聯(lián)立消去y得

所以

小結(jié)改變直線PQ的傾斜角，可以用同樣方法構(gòu)造向量數(shù)量積來求P,Q兩點(diǎn)間距離的最大值.事實(shí)上，適當(dāng)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系可以更直觀地來解決該問題，請(qǐng)看例2另解如下：

圖4

圖5

(1)若P在圓C1的上半圓上，則

消去X,Y得

再與X2+Y2=1聯(lián)立解得

圖6

(2)若P在圓C1的下半圓上，則

3 兩圓處于不同位置關(guān)系時(shí)的應(yīng)用舉例

上述三個(gè)例子中給出構(gòu)造向量、并利用向量的數(shù)量積或叉積的幾何意義來求定向分布于兩圓上的兩點(diǎn)間距離的最值；對(duì)于不同位置關(guān)系的兩圓，需要合理選擇方法.

例4已知點(diǎn)P在圓C1:x2+y2=1上，點(diǎn)Q在圓C2:(x-4)2+y2=4上，且直線PQ的傾斜角為30°，求P,Q兩點(diǎn)間距離的取值范圍.

圖7

(2)若P在下半圓上、Q在上半圓上的情形；此時(shí)，P,Q兩點(diǎn)間距離

例5已知點(diǎn)P在圓C1:x2+y2=1上，點(diǎn)Q在圓C2:(x-2)2+y2=16上，且直線PQ的傾斜角為30°，求P,Q兩點(diǎn)間距離的取值范圍.

圖8

(4)若P在上半圓上、Q在下半圓上；則P,Q兩點(diǎn)間距離

綜上所述，P,Q兩點(diǎn)間距離的取值范圍為

反思例5的解答中構(gòu)造向量數(shù)量積時(shí)由于兩個(gè)向量的旋轉(zhuǎn)方向相反，利用圖形直觀容易求得數(shù)量積的最值，但構(gòu)造向量叉積時(shí)由于兩個(gè)向量的旋轉(zhuǎn)方向相同，有時(shí)不能利用圖形直觀來求叉積的最值.