蔡旭照

當(dāng)對(duì)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類對(duì)象分別研究得出結(jié)論，最后綜合結(jié)果才能得到整個(gè)問(wèn)題的答案，這就是分類討論法.由于圓中的點(diǎn)、線在圓中的位置分布可能有多種情況，因此，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題的答案不唯一.同學(xué)們?cè)诮獯鹋c圓相關(guān)的點(diǎn)、線段、角的問(wèn)題時(shí)，要有分類討論的意識(shí)，做到考慮問(wèn)題周全，分類不重不漏.

一、當(dāng)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不明確時(shí)應(yīng)分類討論

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一般有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上.很多同學(xué)在做題時(shí)，由于審題時(shí)只關(guān)注了其中一種情況，忽略了其他情形，致使答案不完整.所以，同學(xué)們?cè)谇蠼庥嘘P(guān)圓的問(wèn)題時(shí)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不明確時(shí)，務(wù)必要多角度思考，根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)、圓外以及圓上的不同情形進(jìn)行分類討論，從而避免漏解和錯(cuò)解.

例 1 已知點(diǎn)M到⊙O的最近距離為8cm，最遠(yuǎn)距離為20cm，則⊙O的半徑為? .

分析：本題涉及到點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.但是對(duì)于點(diǎn) M的位置，題目中沒(méi)有明確指出來(lái)，它可能在⊙O的內(nèi)部，也可能在⊙O的外部，所以在求解時(shí)應(yīng)分類討論. 解：①當(dāng)點(diǎn)M在⊙O的內(nèi)部時(shí)，如圖1所示，由EF=EM + MF=20 + 8=28cm，所以⊙O的半徑為28÷2=14cm.

②當(dāng)點(diǎn) M在⊙O的外部時(shí)，如圖2所示，由EF=MF - MA=20 - 8=12cm，所以⊙O的半徑為12÷2=6cm.

綜上所述，⊙O的半徑為14cm或6cm.

二、當(dāng)弦所對(duì)弧的優(yōu)劣情況不明確時(shí)應(yīng)分類討論

在平面內(nèi)，一條弦能夠把一個(gè)圓分成兩個(gè)部分，這樣弦（直徑除外）所對(duì)的弧則會(huì)有兩條：一條是大于半圓的優(yōu)弧，另一條是小于半圓的劣弧.在解答有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí)，若題目中弦所對(duì)的弧的優(yōu)劣情況不確定時(shí)，同學(xué)們要注意分優(yōu)弧與劣弧兩種情況進(jìn)行討論.

例2 已知橫截面直徑為260cm的圓形下水道，如果水面寬為240cm，則下水道中水的最大深度為??? .

分析：此題是一道關(guān)于圓的應(yīng)用題.水面寬實(shí)際上就是圓的弦，此弦所對(duì)的弧究竟是優(yōu)弧還是劣弧，題設(shè)中并沒(méi)有直接指出來(lái)，所以在分析時(shí)要注意分類討論.

解：（1）當(dāng)水面寬所對(duì)的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖3 所示，水面寬 EF為圓的弦，過(guò)圓心O作OG⊥EF，垂足為G，延H長(zhǎng)GO交⊙O于點(diǎn) H .

因?yàn)镋F=240cm，OF=OH=130cm，F(xiàn)G=1 EF=120cm，

所以根據(jù)勾股定理可知，

此時(shí)下水道中的水深130 + 50=180cm. （2）當(dāng)水面寬所對(duì)的弧是劣弧時(shí)，如圖4所示，同理可知此時(shí)下水道中的水深 GH=OH - OG=130 - 50=80 cm.綜上所述，下水道中水的最大深度為80cm或180cm.

三、當(dāng)相交兩圓的圓心與公共弦的位置不明確時(shí)應(yīng)分類討論

當(dāng)兩圓相交時(shí)，它們的圓心與公共弦的位置關(guān)系通常有兩種情形：一是相交兩圓的圓心在公共弦的同側(cè);二是相交兩圓的圓心在公共弦的異側(cè).所以在求解相交圓的圓心距問(wèn)題時(shí)，若相交兩圓的圓心與公共弦的位置關(guān)系未知，同學(xué)們要注意分類討論.

例3 若兩圓相交，且它們的半徑分別為10和9，公共弦為12，則這兩個(gè)圓的圓心距為（ ）.

分析：對(duì)于此題，不少同學(xué)容易錯(cuò)選A項(xiàng)或B項(xiàng).這是因?yàn)樗麄兎治鰰r(shí)考慮不夠周全，忽略了分類討論，以致出現(xiàn)錯(cuò)誤答案.事實(shí)上，此題中相交兩圓的圓心與公共弦的位置是不確定的，它可能在公共弦的同一側(cè)，也可以在公共弦的異側(cè)，所以需要分兩種情況進(jìn)行討論.

解：①當(dāng)相交兩圓的圓心在公共弦的同側(cè)時(shí)，如圖5所示，O1M=10，O2M=9，公共弦 MN=12，O1O2交MN于點(diǎn) P，則MP=6.

由勾股定理可知，