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        例談增根的產(chǎn)生與作用

        2021-03-11 06:47:10蘇凡文
        數(shù)理化解題研究 2021年4期
        關(guān)鍵詞:二次曲線外切兩圓

        蘇凡文

        (山東省寧陽縣第一中學(xué) 271400)

        中學(xué)階段,增根是學(xué)生普遍感覺比較棘手的問題.增根是指方程求解后得到的不滿足題設(shè)條件的根.了解增根產(chǎn)生的原因,對根進(jìn)行合理取舍,是中學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).本文以高考題目為例談一下增根問題.

        一、增根產(chǎn)生的原因

        增根的產(chǎn)生源于題目條件轉(zhuǎn)化為結(jié)論的過程中,使得條件成為結(jié)論的充分不必要條件.如果在題目的解答過程中將條件等價(jià)轉(zhuǎn)換為結(jié)論,增根自然會(huì)被舍去.

        (1)求C1的離心率;

        (2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn),若|MF|=5,求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

        我們常常說,二元二次曲線方程聯(lián)立在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)容易產(chǎn)生增根,但兩圓聯(lián)立不產(chǎn)生增根,這是為什么呢?

        二、探索兩圓聯(lián)立不產(chǎn)生增根的原因

        ①當(dāng)兩圓相交時(shí),顯然根軸為公共弦所在的直線,根軸與兩圓的兩個(gè)公共點(diǎn)即是兩圓的兩個(gè)公共點(diǎn);

        ②當(dāng)兩圓外切時(shí),兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)在根軸上,且d=r1+r2.

        下面證明根軸與兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

        所以,兩圓外切時(shí),兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)即根軸與兩圓的1個(gè)公共點(diǎn);

        ③當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)在根軸上,設(shè)r2

        所以,兩圓內(nèi)切時(shí),兩圓的1個(gè)公共點(diǎn)即根軸與兩圓的1個(gè)公共點(diǎn);

        所以,兩圓內(nèi)含時(shí),兩圓無公共點(diǎn),根軸與兩圓也沒有公共點(diǎn).

        所以,兩圓外切時(shí),兩圓無公共點(diǎn),根軸與兩圓也沒有公共點(diǎn).

        綜上所知,“圓與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)”和“根軸與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)”是相同的.

        所以,兩圓的位置關(guān)系本質(zhì)是根軸與圓的位置關(guān)系,因?yàn)橹本€與二次曲線聯(lián)立不會(huì)出現(xiàn)增根,故兩圓聯(lián)立不會(huì)出現(xiàn)增根.

        三、增根在部分題目中存在的意義

        很多人認(rèn)為增根本身沒有存在的必要性和價(jià)值性,是嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)的一個(gè)瑕疵,這其實(shí)是不對的,細(xì)細(xì)研磨會(huì)發(fā)現(xiàn),增根在部分題目中對解題有些積極的提示性作用.

        (2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

        分析本題絕大部分學(xué)生得6分或者7分,主要原因是計(jì)算到4k2+8km+3m2-2m-1=0不會(huì)因式分解,若利用變換主元法,可得4k2+8mk+(m-1)(3m+1)=(2k+m-1)(2k+3m+1).但是這種二元二次方程因式分解絕大部分學(xué)生不會(huì)做.下面提供一種利用增根進(jìn)行因式分解的方法.

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