甘志國

(北京豐臺二中 100071)

基金項目：北京市教育學會“十三五”教育科研滾動立項課題“數學文化與高考研究”(課題編號：FT2017GD003)

全卷共20道不定項選擇題.以下試題是回憶版，但對準備參加重點大學強基計劃考試的讀者仍有重要參考作用.

該試題較其他2020年重點大學強基計劃的數學試題難度都要大.針對下面的試題題號按難度漸升的順序敘述如下：第8題是簡易邏輯問題；第16題是立體幾何中的空間角問題；第1題是求二元函數的最值；第17題考查函數的奇偶性；第5,7題是平面解析幾何問題(后者是雙曲線與三角函數的綜合)；第15題是反三角函數問題；第2題是平面幾何問題；第9題是平面向量問題；第13題是空間向量問題；第12題是求期望(但涉及無窮遞縮等比數列各項的和)；第18題涉及定積分與導數；第19題是關于數列前n項和的新定義問題；第10題是求極限(涉及反三角函數及不易想到的裂項法求數列前n項和)；第3題是集合與排列組合的綜合；第4題是遞推數列問題；第6,14題是初等數論中的整數性質問題；第11題是概率與整數性質的綜合問題(用枚舉法求解時情況較多)；第20題是定積分.

一、試題呈現

1.若x2+y2≤1(x,y∈R)，則x2+xy-y2的取值范圍是( ).

2.在非等邊ΔABC中，BC=AC，點O,P分別是ΔABC的外心與內心.若點D在邊BC上且OD⊥BP，則下列選項正確的是( ).

A.B,D,O,P四點共圓 B.OD∥AC

C.OD∥ABD.DP∥AC

3.若A,B,C?{1,2,3,…,2020},A?C,B?C，則有序集合組(A,B,C)的組數是( ).

A.22020B.32020C.42020D.52020

A.0 B.2 C.10 D.12

6.若一個三角形的各邊長均為整數且其面積為有理數，則該三角形某一邊的長可以是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

C.S△PABtan(α+β) D.S△PABcot(α+β)

8.甲、乙、丙三人做同一道題.甲說“我做錯了”，乙說“甲做對了”，丙說“我做錯了”，老師說“有且僅有一人做對，有且僅有一人說錯了”.若老師說的話一定正確，則( ).

A.甲說的對 B.乙說的對

C.丙說的對 D.甲、乙、丙說的均不對

A.∠APB=120°B.∠BPC=120°

C.2BP=PCD.AP=2PC

11.若從0,1,2,…,9中選取5個兩兩互異的數字依次排成一個五位數(包括0在首位的五位數，其大小就是把0去掉后的四位數)，則它能被396整除的概率是( ).

13.若空間向量a,b,c滿足|a|≤1,|b|≤1,|a+2b+c|=|a-2b|，則|c|的最值為( ).

C.最小值為0 D.最小值為2

14.若x,y∈N*，則下列說法正確的是( ).

A.x2+2y與y2+2x可以均為完全平方數

B.x2+4y與y2+4x可以均為完全平方數

C.x2+5y與y2+5x可以均為完全平方數

D.x2+6y與y2+6x可以均為完全平方數

16.若某個正四棱錐的相鄰兩個側面所成二面角的大小為α，側棱與底面所成線面角的大小為β，則( ).

A.cosα+tan2β=1 B.secα+tan2β=-1

C.cosα+2tan2β=1 D.secα+2tan2β=-1

A.2 B.e C.3 D.4

圖1

18.已知y=f(x)是上凸函數，x=c是其極大值點，函數y=f(x)的部分圖象如圖1所示.若函數y=f(x)的圖象與直線x=a,x=t(a

A.f(b),f′(a) B.f′(a),f(b)

C.f(c),f′(a) D.f′(a),f(c)

19.把數列{an}的前n項和記作Sn.若?n∈N*,?m∈N*,Sn=am，則稱數列{an}為“某數列”.以下選項中正確的是( ).

B.若an=k(k為常數)，則{an}為“某數列”

C.若an=kn(k為常數)，則{an}為“某數列”

D.對于任意的等差數列{an}，均存在兩個“某數列”{bn},{cn}，使得an=bn+cn

二、試題解析

圖2

2.AD.由題設，可得點O,P不重合.

如圖2所示，可得點O,P在等腰△ABC底邊上的高CE上(點E是邊AB的中點).

可設直線OD,BP交于點R，可得∠R=∠CEB=90°，所以O,R,E,B四點共圓.

再由題設“點P是△ABC的內心”，可得∠CBP=∠RBE=∠ROP，所以B,D,O,P四點共圓，得選項A正確.

由B,D,O,P四點共圓，可得∠BDP=∠BOP.

由題設“點O是△ABC的外心”，可得∠BOP=2∠BCO=∠BCA，所以∠BDP=∠BCA.所以DP∥AC，得選項D正確，選項B錯誤.

若OD∥AB，由CE⊥AB，可得CE⊥OD.又由PB⊥OD，可得PB∥CE.而直線PB,CE交于點P，所以選項C錯誤.

3.解法1 D.若集合C已確定，由A?C可得集合A有2|C|種可能(其中|C|表示集合C的元素個數)；同理，由B?C可得集合B有2|C|種可能.所以有序集合組(A,B)的組數是2|C|·2|C|=4|C|.

圖3

解法2 D.如圖3所示，其中U={1,2,3,…,2020}，可得元素1,2,3,…,2020均有5種填法：UC,U(A∪B),A(A∩B),A∩B,B(A∩B).由分步乘法計數原理，可得所求答案是52020.

4.BC.先用數學歸納法證明a2k,a2k+1(k∈N)分別是偶數、奇數.

當k=0時成立,a0=0,a1=±1.

假設k=n時成立,即a2n,a2n+1分別是偶數、奇數.

可得|a2n+2|=|a2n+1+1|，所以a2n+2是偶數；再由|a2n+3|=|a2n+2+1|，可得a2n+3是奇數.所以k=n+1時也成立.所以欲證結論成立.

由題設，得a2k=a2k-1+1或a2k=-a2k-1-1(k∈N*)，所以a2k-1+a2k=2a2k-1+1或a2k-1+a2k=-1(k∈N*).

可設a2k-1=2m-1(m∈Z)，當a2k-1+a2k=2a2k-1+1時，可得a2k-1+a2k=4m-1.

所以總有a2k-1+a2k≡-1(mod 4).

6.CD.因為三邊長分別是3,4,5的三角形的面積6是有理數，所以選項D正確.

若滿足題設的三角形的某一邊長可以是1，則可設其另外邊長分別是b,c(1≤b≤c;b,c∈N*).

由“三角形兩邊之和大于第三邊”，可得1+b>c，即1+b≥c+1,所以b≥c，所以b=c.

若滿足題設的三角形的某一邊長可以是2，則可設其另外邊長分別是b,c(2≤b≤c;b,c∈N*).

由“三角形兩邊之和大于第三邊”，可得2+b>c，即2+b≥c+1,所以b≥c-1.所以b=c-1或c.

所以選項B錯誤.

故選項A正確.

故選項C正確、D錯誤.

8.A.若僅甲說的對，則甲做錯了；可得乙、丙均說錯了，得丙做對了.滿足題設“有且僅有一人做對，有且僅有一人說錯了”.

若僅乙說的對，則甲做對了；可得甲、丙均說錯了，得丙也做對了.不滿足題設“有且僅有一人做對”.

若僅丙說的對，則丙做錯了；可得甲說錯了，得甲做對了；還可得乙說錯了，得甲也做錯了.前后矛盾！

綜上所述，可得僅甲說的對.

圖4

同理，可得∠BPC=∠BPA.

再由∠APC+∠BPC+∠BPA=360°，可得∠APC=∠BPC=∠BPA=120°，因而選項A,B均正確.

在Rt△ABC中，可得∠BAC=30°,∠ACB=60°.

11.C.可得396=4×9×11.

若排成的五位數是9的倍數，則這5個數字之和是9的倍數，進而可得所選取的5個數字只可能是0,1,2,6,9；0,1,2,7,8；0,1,3,5,9；0,1,3,6,8；0,1,4,5,8；0,1,4,6,7；0,2,3,4,9；0,2,3,5,8；0,2,3,6,7；0,2,4,5,7；0,3,4,5,6；0,3,7,8,9；0,4,6,8,9；0,5,6,7,9；1,2,3,4,8；1，2,3,5,7；1,2,4,5,6；1,2,7,8,9；1,3,6,8,9；1,4,5,8,9；1,4,6,7,9；1,5,6,7,8；2,3,5,8,9；2,3,6,7,9；2,4,5,7,9；2,4,6,7,8；3,4,5,6,9；3,4,5,7,8之一.

若所選取的5個數字是0,1,2,6,9，由排成的五位數是4的倍數，可得末兩位數只可能是20,60,12,92,16,96之一.

再由排成的五位數是11的倍數，可得排成的五位數只可能是10692,60192,10296,20196之一.

又由4,9,11兩兩互質，所以得到的4個五位數均滿足題設.

進而可得滿足題設的五位數共96個：10692,60192,10296,20196,17820,87120,21780,71280,08712,78012,07128,17028,13860,83160,31680,61380,08316,38016,03168,13068,15840,85140,41580,51480,01584,51084,05148,15048,30492,40392,29304,39204,37620,67320,23760,73260,06732,76032,02376,32076,47520,57420,25740,75240,04752,74052,07524,57024,35640,65340,43560,53460,03564,53064,04356,34056,68904,98604,60984,90684,38412,48312,21384,31284,14652,64152,14256,24156,87912,97812,81972,91872,47916,97416,41976,91476,57816,87516,51876,81576,85932,95832,83952,93852,76824,86724,72864,82764,46728,76428,42768,72468,45936,95436,43956,93456.

注用電腦編程可以驗證上述答案是正確的.

所以隨機變量Y的期望是

13.BC.由題設，可得

|a-2b|=|a+2b+c|≥|c|-|a+2b|,

|c|≤1·|a+2b|+1·|a-2b|.

由柯西不等式，可得

(1·|a+2b|+1·|a-2b|)2≤(12+12)(|a+2b|2+|a-2b|2)=4(|a|2+4|b|2)≤20.

還可得a=(0,1),b=(1,0),c=(0,0)滿足題設，進而可得|c|的最小值為0，故選項C正確，D錯誤.

14.CD.由對稱性知，可不妨設x≤y.

對于選項A，由y2

對于選項B，由y2

選x=y=4，得x2+5y=y2+5x=62，故選項C正確.

選x=y=2，得x2+6y=y2+6x=42，故選項D正確.

圖5

作AH⊥PB于點H，連接CH，可得α=∠AHC,CH=AH.

還可得2S△PAB=AB·PM=AH·PB.

在△ACH中，由余弦定理，可求得

進而可得secα+2tan2β=-1.

17.A.由“閉區(qū)間上的連續(xù)函數存在最大值與最小值”，可得函數f(x)的最大值與最小值均存在.

當x∈[0,1]時，g(x)<2，所以函數g(x)的最大值與最小值均存在且互為相反數，可分別設為M,-M.

所以函數f(x)的最大值與最小值分別是1+M,1-M.所以所求答案是(1+M)+(1-M)=2.

18.D.由f(x)是上凸函數，可得f′(x)是減函數，所以當x∈[a,b]時，函數f′(x)的最大值是f′(a).

19.ABD.對于選項A，可求得Sn=2n-1(n∈N*)，所以Sn=an+1(n∈N*)，故選項A正確.

選項C正確.?n∈N*,Sn=k(1+2+…+n)=a1+2+…+n.

解法2 B.在解法1中，已得

所以

解法3 B.由降冪公式，可得

所以

再由排除法，可知答案是B.