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        由一道兩圓公共弦所在直線的方程問題引發(fā)的思考

        2022-03-09 00:27:04葛彩云
        關(guān)鍵詞:解題探究

        葛彩云

        如果兩圓相交,那么這兩個(gè)圓就會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn),這兩個(gè)交點(diǎn)的連線就稱為兩圓的公共弦.該弦較為特殊,弦的端點(diǎn)分別在兩個(gè)圓上,端點(diǎn)的坐標(biāo)滿足兩個(gè)圓的方程.那么如何求兩相交圓公共弦所在直線的方程呢?

        下面,我們一起來(lái)探究一道題目.

        例1.求兩個(gè)圓 x2+ y2+3x - y =0和3x2+3y2+2x + y =0公共弦所在直線的方程.

        仔細(xì)研究本題,可以發(fā)現(xiàn),將(1)×3-(2),消去兩圓的方程中二次項(xiàng)后的方程為7x -4y =0,該方程即為所求的兩圓公共弦所在直線的方程.這是不是一種巧合呢?下面來(lái)證明一下此結(jié)論的正確性.

        結(jié)論1:圓 x 2 + y2 + D1x + E1y + F1 = 0 (D1 2 + E1 2 - 4F1 > 0)與圓 x 2 + y2 + D2 x + E2 y + F2 = 0(D2 2 + E2 2 - 4F2 > 0) , 且 E1 ≠ E2 的公共弦所在直線的方程為 (D1 - D2)x +(E1 - E2)y +(F1 - F2)= 0 .

        結(jié)論2:若兩曲線的二次項(xiàng)系數(shù)成比例,則過其交 點(diǎn)的直線方程即為消去二次項(xiàng)后所得的二元一次方 程.

        例2.若圓C1:x 2 + y2 - 4x + 6y = 0 與圓C2:x 2 + y2 - 6y = 0 的交點(diǎn)為A、B,求直線AB及其垂直平分線的方程.

        利用上述結(jié)論1,消去兩圓方程中的二次項(xiàng),即可 得出相交弦所在直線的方程,這樣大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

        例3.求兩圓 x 2 + y2 - 10x - 10y = 0 ,x 2 + y2 + 6x + 2y -40 = 0 的公共弦的長(zhǎng).

        解答本題,需先根據(jù)結(jié)論1,將兩圓方程聯(lián)立,通 過變形將其二次項(xiàng)消去,求得兩圓公共弦所在直線的 方程;然后根據(jù)圓的性質(zhì):弦心距、弦的一半、圓的半 徑為直角三角形的三邊,利用勾股定理進(jìn)行求解.

        例 4. 如圖,過原點(diǎn)作圓 C:(x - 3) 2 +(y + 4) 2 = 1 的 兩條切線,求過兩切點(diǎn)的直線方程.

        通過構(gòu)造一個(gè)圓,將過兩切點(diǎn)的直線問題轉(zhuǎn)化為 求過兩圓的交點(diǎn)的直線方程,即兩圓公共弦所在直線 的方程問題來(lái)求解,那么解題過程就會(huì)變得十分簡(jiǎn)潔.

        “題?!庇?xùn)練是一種低層次的學(xué)習(xí)方式,而跳出 “題?!弊钣行У霓k法,是探究一些典型、常見題目的 通性通法,總結(jié)解題的規(guī)律.這就要在面對(duì)每一道數(shù)學(xué) 問題時(shí),不僅僅停留在解題的層面上,要對(duì)其進(jìn)行更 深入的研究,在不斷的探究中積累解題經(jīng)驗(yàn),提高解 題的能力.(作者單位:江蘇省鹽城市大岡中學(xué))

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