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        談?wù)劗惷嬷本€之間距離的求法

        2022-03-09 23:51:44謝琴琴
        關(guān)鍵詞:異面線段向量

        謝琴琴

        求異面直線之間的距離問題具有較強(qiáng)的抽象性.在面對(duì)此類問題時(shí),很多同學(xué)常常感到無從下手.其實(shí),求兩條異面直線之間的距離,關(guān)鍵是要找到兩條異面直線的公垂線,將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來求解.本文主要介紹兩條異面直線之間距離的幾種求法,供大家學(xué)習(xí)、參考.

        一、定義法

        異面直線是指在空間內(nèi)既不平行也不相交的兩條直線.而異面直線之間的距離就是同時(shí)垂直于兩條直線的線段的長(zhǎng)度,即公垂線的長(zhǎng)度.運(yùn)用定義法求異面直線之間的距離,需根據(jù)幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征作出公垂線,再將公垂線視為某個(gè)三角形、平行四邊形、矩形的一條邊,運(yùn)用正余弦定理、勾股定理、矩形的性質(zhì)等求公垂線的長(zhǎng)度.

        例1.已知正方體 ABCD -A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1,求異面直線 DA′與AC 之間的距離.

        運(yùn)用定義法求異面直線之間的距離,先要作出異面直線的公垂線.在本題中,A′C ⊥ OE 、OE ⊥面A′CD ,即可證明 OE 同時(shí)垂直于 DA′和AC 兩條直線.然后將 OE 放置在直角三角形中,根據(jù)三角形的面積公式求出 OE 的長(zhǎng)度,即為異面直線 DA′與AC 之間的距離.

        二、向量法

        運(yùn)用向量法求異面直線之間的距離,要根據(jù)幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征,建立合適的空間直角坐標(biāo)系,并給各個(gè)線段賦予方向,將各點(diǎn)、線段、平面用坐標(biāo)表示出來,就可以通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求得異面直線之間的距離.

        例2.在長(zhǎng)方體 ABCD -A1B1C1D1中,AB =4,AD =3, AA1=2,M,N 分別為 DC、BB1的中點(diǎn),求異面直線 MN與A1B 之間的距離.

        先設(shè)出異面直線公垂線的方向向量;然后在兩直 線上各取一點(diǎn) A、B ,求出向量AB ;再求出AB 在公垂 線方向向量上的射影,即可求得兩條異面直線之間的 距離.

        三、函數(shù)最值法

        異面直線之間的距離,也就是兩條直線上的兩個(gè) 點(diǎn)之間距離的最小值,我們可以將問題看作最值問 題,把兩條異面直線之間的距離表示成某一個(gè)變量的 函數(shù),通過求其最小值,來解答異面直線之間的距離 問題.

        設(shè)出變量,將公垂線的長(zhǎng)用函數(shù)表示出來,便可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題,這樣將數(shù)與形相結(jié)合,便可快速求得異面直線之間的距離.

        總之,上述三種方法都是較為常用的方法,針對(duì)不同的條件問題,選用最為合適的方法求解,才能簡(jiǎn)化解題的過程,降低解題的難度.

        (作者單位:江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué))

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