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        解答數(shù)列求和問(wèn)題的三個(gè)常用路徑

        2022-03-09 22:13:40王飛

        王飛

        縱觀歷年來(lái)全國(guó)各地的高考數(shù)學(xué)試題,不難發(fā)現(xiàn) 數(shù)列求和問(wèn)題是重點(diǎn)考查的對(duì)象之一.數(shù)列求和問(wèn)題 中的條件以及求和要求不同,因而往往需運(yùn)用多種不 同的方法進(jìn)行解答.本篇文章主要對(duì)三種求和路徑:錯(cuò) 位相減、分組求和和裂項(xiàng)相消進(jìn)行分析和探討,以期 幫助同學(xué)們更從容地應(yīng)對(duì)數(shù)列求和題目.

        一、錯(cuò)位相減

        若數(shù)列的各項(xiàng)由等比數(shù)列和等差數(shù)列各項(xiàng)的乘 積構(gòu)成,則可采用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.其解 題的步驟:①列出數(shù)列前 n 項(xiàng)和的表達(dá)式,并在該式 的左右同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比;②將兩式錯(cuò)位相 減,使其中的部分項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列;③根據(jù)等比數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和公式進(jìn)行運(yùn)算、化簡(jiǎn),即可求得數(shù)列前 n 項(xiàng)的和.

        仔細(xì)研究 {bn} 通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),可發(fā)現(xiàn),其 由等差數(shù)列 {n} 和等比數(shù)列 {2 } 2n - 1 各項(xiàng)的乘積構(gòu)成. 于是采用錯(cuò)位相減法,在數(shù)列和式的左右同時(shí)乘以公 比 q = 22 得到另外一個(gè)表達(dá)式;再將兩式錯(cuò)位相減,根 據(jù)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.

        二、分組求和

        分組求和法是指把數(shù)列的前 n 項(xiàng)和式按照一定 規(guī)律分成幾個(gè)不同的組,再分別求和.在分組時(shí),可按 照奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng),將數(shù)列的前 n 項(xiàng)分成不同的兩組; 也可抽取其中的部分項(xiàng)使其構(gòu)成等差數(shù)列、等比數(shù)列、 常數(shù)列,還可以將其中的負(fù)數(shù)項(xiàng)分為一組,將正數(shù)項(xiàng)分 為一組;等等.分別根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 求得每一組數(shù)列的和,最后綜合所得的結(jié)果即可.

        雖然該數(shù)列的通項(xiàng)公式并不明確,但根據(jù)數(shù)列的 各項(xiàng)具有一定的規(guī)律,于是將帶有負(fù)號(hào)的項(xiàng)分為一 組,其他正數(shù)項(xiàng)分為另外一組,通過(guò)求常用數(shù)列{n}和 {n } 2 的和求得數(shù)列的和.

        三、裂項(xiàng)相消

        裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)公式分裂為兩項(xiàng) 的差的形式,通過(guò)重新組合,在求和時(shí)某些項(xiàng)能夠相 互抵消,從而達(dá)到求和目的.運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和,需 根據(jù)所求數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)?裂項(xiàng).

        數(shù)列{bn} 的通項(xiàng)公式可分裂成 ?的形 式,于是采用裂項(xiàng)相消法,將數(shù)列{bn} 的前 n 項(xiàng)相加, 那么中間的部分項(xiàng),如 - 1 2 與1 2 、 - 1 3 與1 3 …- 1 n與1 n 就 會(huì)相互抵消,化簡(jiǎn)剩余的項(xiàng),即可得到數(shù)列的和.

        總之,錯(cuò)位相減法、分組求和法、裂項(xiàng)相消法的適 用情形和特點(diǎn)均不相同,同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要仔細(xì)研究 數(shù)列和式以及通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征,選擇與之相應(yīng)的 方法進(jìn)行求和.

        (作者單位:甘肅省清水縣第一中學(xué))

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