王飛

縱觀歷年來(lái)全國(guó)各地的高考數(shù)學(xué)試題，不難發(fā)現(xiàn) 數(shù)列求和問(wèn)題是重點(diǎn)考查的對(duì)象之一.數(shù)列求和問(wèn)題 中的條件以及求和要求不同，因而往往需運(yùn)用多種不 同的方法進(jìn)行解答.本篇文章主要對(duì)三種求和路徑：錯(cuò) 位相減、分組求和和裂項(xiàng)相消進(jìn)行分析和探討，以期 幫助同學(xué)們更從容地應(yīng)對(duì)數(shù)列求和題目.

一、錯(cuò)位相減

若數(shù)列的各項(xiàng)由等比數(shù)列和等差數(shù)列各項(xiàng)的乘 積構(gòu)成，則可采用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和.其解 題的步驟：①列出數(shù)列前 n 項(xiàng)和的表達(dá)式，并在該式 的左右同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比；②將兩式錯(cuò)位相 減，使其中的部分項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列；③根據(jù)等比數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和公式進(jìn)行運(yùn)算、化簡(jiǎn)，即可求得數(shù)列前 n 項(xiàng)的和.

仔細(xì)研究 {bn} 通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可發(fā)現(xiàn)，其 由等差數(shù)列 {n} 和等比數(shù)列 {2 } 2n - 1 各項(xiàng)的乘積構(gòu)成. 于是采用錯(cuò)位相減法，在數(shù)列和式的左右同時(shí)乘以公 比 q = 22 得到另外一個(gè)表達(dá)式；再將兩式錯(cuò)位相減，根 據(jù)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.

二、分組求和

分組求和法是指把數(shù)列的前 n 項(xiàng)和式按照一定 規(guī)律分成幾個(gè)不同的組，再分別求和.在分組時(shí)，可按 照奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，將數(shù)列的前 n 項(xiàng)分成不同的兩組； 也可抽取其中的部分項(xiàng)使其構(gòu)成等差數(shù)列、等比數(shù)列、 常數(shù)列，還可以將其中的負(fù)數(shù)項(xiàng)分為一組，將正數(shù)項(xiàng)分 為一組；等等.分別根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 求得每一組數(shù)列的和，最后綜合所得的結(jié)果即可.

雖然該數(shù)列的通項(xiàng)公式并不明確，但根據(jù)數(shù)列的 各項(xiàng)具有一定的規(guī)律，于是將帶有負(fù)號(hào)的項(xiàng)分為一 組，其他正數(shù)項(xiàng)分為另外一組，通過(guò)求常用數(shù)列{n}和 {n } 2 的和求得數(shù)列的和.

三、裂項(xiàng)相消

裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)公式分裂為兩項(xiàng) 的差的形式，通過(guò)重新組合，在求和時(shí)某些項(xiàng)能夠相 互抵消，從而達(dá)到求和目的.運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和，需 根據(jù)所求數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)?裂項(xiàng).

數(shù)列{bn} 的通項(xiàng)公式可分裂成 ?的形 式，于是采用裂項(xiàng)相消法，將數(shù)列{bn} 的前 n 項(xiàng)相加， 那么中間的部分項(xiàng)，如 - 1 2 與1 2 、 - 1 3 與1 3 …- 1 n與1 n 就 會(huì)相互抵消，化簡(jiǎn)剩余的項(xiàng)，即可得到數(shù)列的和.

總之，錯(cuò)位相減法、分組求和法、裂項(xiàng)相消法的適 用情形和特點(diǎn)均不相同，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要仔細(xì)研究 數(shù)列和式以及通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征，選擇與之相應(yīng)的 方法進(jìn)行求和.

（作者單位：甘肅省清水縣第一中學(xué)）