代思波

導(dǎo)數(shù)法是一種重要的解題方法.利用導(dǎo)數(shù)法解題，實(shí)際上是利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來求得問題的答案.對(duì)于一些與函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)的最值、數(shù)列的最值有關(guān)的問題，利用導(dǎo)數(shù)法，可轉(zhuǎn)換解題的思路，將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題來求解，這樣便可從新的途徑尋找到解題的方案.

一、函數(shù)問題

導(dǎo)數(shù)是解答函數(shù)問題的重要工具，尤其在判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值時(shí)，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法，可有效地提升解題的效率.

1.判斷函數(shù)的單調(diào)性

一般地，若函數(shù) y =f（x）在區(qū)間 D 內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間 D 內(nèi) f ′（x）>0 ，則 f（x）在區(qū)間 D 上為增函數(shù)；若 f'（x）<0，則 f（x）在區(qū)間 D 上為減函數(shù).在解題時(shí)，可先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后判斷導(dǎo)函數(shù)與0之間的大小關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性.

例1.若函數(shù) f（x）= ln（2x +3）+ x2 ，試討論 f（x）的單調(diào)性.

若題目中直接給出了函數(shù)的解析式，對(duì)于這種相對(duì)簡(jiǎn)單的題目，可首先確定函數(shù)的定義域；然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，并在其定義域內(nèi)討論導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系；最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系得出結(jié)論.

例2.已知函數(shù) f（x）= ln x +2x2+ mx +1在0， +∞內(nèi)單調(diào)遞增，求 m 的取值范圍.

有些函數(shù)式中含有參數(shù)，在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，若容易分離出參數(shù)，則先采用分離參數(shù)法將參、變量分離；然后對(duì)不含參數(shù)的式子進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式.若不容易分離參數(shù)，則需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類，并在每一種情況下討論導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系.

2.求函數(shù)的最值

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求可導(dǎo)函數(shù) y =f（x）的最值的步驟如下：

（1）利用導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) f'（x）；

（2）通過分解因式或利用求根公式求方程f'（x）=0在定義域內(nèi)的根；

（3）判斷 f ′（x）在方程 f ′（x）=0的根 x0左右兩側(cè)的符號(hào).如果 f ′（x）在x0 的左側(cè)附近為正數(shù)、右側(cè)附近為負(fù)數(shù)，那么函數(shù) y =f（x）在 x = x0 處取得極大值.如果 f ′（x）在x0 的左側(cè)附近為負(fù)數(shù)、右側(cè)附近為正數(shù)，那么函數(shù) y =f（x）在 x = x0處取得極小值；

（4）若函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間[a， b]，則需將所求的極值與定義域端點(diǎn)處的函數(shù)值 f（a）、f（b）進(jìn)行比較，最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值.

在求函數(shù)的極值時(shí)，往往可以結(jié)合函數(shù)的圖象或表格來分析問題，這樣有利于提升解題的效率.

例3.已知函數(shù) f（x）= x3-12x +8在區(qū)間-3， 3上的最大值與最小值分別為 M， m ，則 M - m =___.

在解題時(shí)，同學(xué)們要注意極大（?。┲蹬c最大（小）值之間的區(qū)別，在定義域?yàn)殚_區(qū)間時(shí)，極大（小）值即為函數(shù)的最大（?。┲?；在定義域?yàn)殚]區(qū)間時(shí)，極大?????? （?。┲挡灰欢楹瘮?shù)的最大（?。┲担袝r(shí)最值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.

例4. 函數(shù) f（x）=? ，當(dāng) a≠0時(shí)，求f（x）的最值．

根據(jù)題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?R，所以在利用導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)將實(shí)數(shù)集 R 劃分為三個(gè)子區(qū)間，并在每個(gè)子區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系.該解法中，用表格的形式直觀地呈現(xiàn)了導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，這為我們確定函數(shù)的極小（大）值帶來了很大的便利.

二、求解數(shù)列問題

數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù).對(duì)于數(shù)列最值問題，通?？上葘?shù)列的通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和式等看作關(guān)于n的函數(shù)式；然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得最值.

利用導(dǎo)數(shù)法求解數(shù)列最值問題，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷數(shù)列及其關(guān)系式的單調(diào)性，從而根據(jù)其單調(diào)性求得最大、小值.

總之，在解答較為復(fù)雜的函數(shù)、數(shù)列問題時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)將問題與導(dǎo)數(shù)關(guān)聯(lián)起來，利用導(dǎo)數(shù)法來判斷出函數(shù)、數(shù)列的單調(diào)性，從而使問題順利獲解.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解題的思路較為簡(jiǎn)單，且容易入手，但是解題過程中的運(yùn)算量較大.（作者單位：江西省宜春市第九中學(xué)（宜春外國語學(xué)校））