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        巧用導(dǎo)數(shù)法解答函數(shù)與數(shù)列問題

        2022-03-09 23:51:44代思波
        關(guān)鍵詞:定義域最值單調(diào)

        代思波

        導(dǎo)數(shù)法是一種重要的解題方法.利用導(dǎo)數(shù)法解題,實(shí)際上是利用導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來求得問題的答案.對(duì)于一些與函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)的最值、數(shù)列的最值有關(guān)的問題,利用導(dǎo)數(shù)法,可轉(zhuǎn)換解題的思路,將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題來求解,這樣便可從新的途徑尋找到解題的方案.

        一、函數(shù)問題

        導(dǎo)數(shù)是解答函數(shù)問題的重要工具,尤其在判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值時(shí),靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法,可有效地提升解題的效率.

        1.判斷函數(shù)的單調(diào)性

        一般地,若函數(shù) y =f(x)在區(qū)間 D 內(nèi)可導(dǎo),且在區(qū)間 D 內(nèi) f ′(x)>0 ,則 f(x)在區(qū)間 D 上為增函數(shù);若 f'(x)<0,則 f(x)在區(qū)間 D 上為減函數(shù).在解題時(shí),可先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),然后判斷導(dǎo)函數(shù)與0之間的大小關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系,判斷出函數(shù)的單調(diào)性.

        例1.若函數(shù) f(x)= ln(2x +3)+ x2 ,試討論 f(x)的單調(diào)性.

        若題目中直接給出了函數(shù)的解析式,對(duì)于這種相對(duì)簡(jiǎn)單的題目,可首先確定函數(shù)的定義域;然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并在其定義域內(nèi)討論導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系;最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系得出結(jié)論.

        例2.已知函數(shù) f(x)= ln x +2x2+ mx +1在0, +∞內(nèi)單調(diào)遞增,求 m 的取值范圍.

        有些函數(shù)式中含有參數(shù),在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí),若容易分離出參數(shù),則先采用分離參數(shù)法將參、變量分離;然后對(duì)不含參數(shù)的式子進(jìn)行求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式.若不容易分離參數(shù),則需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類,并在每一種情況下討論導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系.

        2.求函數(shù)的最值

        運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法求可導(dǎo)函數(shù) y =f(x)的最值的步驟如下:

        (1)利用導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) f'(x);

        (2)通過分解因式或利用求根公式求方程f'(x)=0在定義域內(nèi)的根;

        (3)判斷 f ′(x)在方程 f ′(x)=0的根 x0左右兩側(cè)的符號(hào).如果 f ′(x)在x0 的左側(cè)附近為正數(shù)、右側(cè)附近為負(fù)數(shù),那么函數(shù) y =f(x)在 x = x0 處取得極大值.如果 f ′(x)在x0 的左側(cè)附近為負(fù)數(shù)、右側(cè)附近為正數(shù),那么函數(shù) y =f(x)在 x = x0處取得極小值;

        (4)若函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間[a, b],則需將所求的極值與定義域端點(diǎn)處的函數(shù)值 f(a)、f(b)進(jìn)行比較,最大的就是函數(shù)的最大值,最小的就是函數(shù)的最小值.

        在求函數(shù)的極值時(shí),往往可以結(jié)合函數(shù)的圖象或表格來分析問題,這樣有利于提升解題的效率.

        例3.已知函數(shù) f(x)= x3-12x +8在區(qū)間-3, 3上的最大值與最小值分別為 M, m ,則 M - m =___.

        在解題時(shí),同學(xué)們要注意極大(?。┲蹬c最大(?。┲抵g的區(qū)別,在定義域?yàn)殚_區(qū)間時(shí),極大(小)值即為函數(shù)的最大(?。┲?;在定義域?yàn)殚]區(qū)間時(shí),極大?????? (小)值不一定為函數(shù)的最大(?。┲?,有時(shí)最值在區(qū)間的端點(diǎn)處取得.

        例4. 函數(shù) f(x)=? ,當(dāng) a≠0時(shí),求f(x)的最值.

        根據(jù)題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?R,所以在利用導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí),要用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)將實(shí)數(shù)集 R 劃分為三個(gè)子區(qū)間,并在每個(gè)子區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系.該解法中,用表格的形式直觀地呈現(xiàn)了導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系,這為我們確定函數(shù)的極?。ù螅┲祹砹撕艽蟮谋憷?

        二、求解數(shù)列問題

        數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù).對(duì)于數(shù)列最值問題,通常可先將數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n 項(xiàng)和式等看作關(guān)于n的函數(shù)式;然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo),研究導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系,即可判斷出函數(shù)的單調(diào)性,求得最值.

        利用導(dǎo)數(shù)法求解數(shù)列最值問題,關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷數(shù)列及其關(guān)系式的單調(diào)性,從而根據(jù)其單調(diào)性求得最大、小值.

        總之,在解答較為復(fù)雜的函數(shù)、數(shù)列問題時(shí),同學(xué)們要學(xué)會(huì)將問題與導(dǎo)數(shù)關(guān)聯(lián)起來,利用導(dǎo)數(shù)法來判斷出函數(shù)、數(shù)列的單調(diào)性,從而使問題順利獲解.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解題的思路較為簡(jiǎn)單,且容易入手,但是解題過程中的運(yùn)算量較大.(作者單位:江西省宜春市第九中學(xué)(宜春外國(guó)語學(xué)校))

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