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        試探以圓錐曲線的垂直弦為直徑的圓

        2016-04-06 02:19:10尹惠民
        關(guān)鍵詞:兩圓雙曲線斜率

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        試探以圓錐曲線的垂直弦為直徑的圓

        湖北省武漢市第十四中學(xué)(430061)尹惠民

        在研究與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題時(shí),筆者對(duì)以圓錐曲線的兩條垂直弦為直徑的圓作了一番探索和演算,發(fā)現(xiàn)了下面的漂亮性質(zhì),希望與讀者共享.

        首先介紹將圓、橢圓、雙曲線合三為一后得到的具有和諧、統(tǒng)一、對(duì)稱美的一個(gè)性質(zhì).

        定理1已知有心圓錐曲線E:mx2+ny2=1(當(dāng)m、n都為正時(shí)是圓或橢圓,當(dāng)m、n異號(hào)時(shí)是雙曲線),AB、CD是過曲線Γ內(nèi)定點(diǎn)P(x0,y0)的兩條互相垂直的弦,若以弦AB、CD為直徑的兩圓相交,則兩圓公共弦恒過定點(diǎn)

        圖1

        證明:(如圖1)當(dāng)直線AB、CD的斜率均存在且不為零時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-x0)+y0,代入mx2+ny2=1,并整理得

        (m+nk2)x2+2kn(y0-kx0)x+n(y0-kx0)2-1=0,

        =-n[mx0(1-k2)+(m+n)ky0]·(x-

        所以兩圓公共弦恒過定點(diǎn)

        當(dāng)直線AB、CD中有一條斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí),可以驗(yàn)證兩圓公共弦也過定點(diǎn)T.

        另一方面,設(shè)以弦AB、CD為直徑的兩圓圓心分別為M、N,由圓方程③④易得

        yN-yM=

        由兩點(diǎn)式得直線MN的方程為

        (y-yM)(xN-xM)=(x-xM)(yN-yM),即

        (xN-xM)y=(yN-yM)x+yMxN-xMyN.

        當(dāng)直線AB、CD中有一條斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí),可以驗(yàn)證兩圓公共弦中點(diǎn)坐標(biāo)滿足軌跡方程.

        經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)在拋物線中也有類似的性質(zhì),證明略.

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