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能否用一元二次方程根的分布判定直線與圓的位置關系

湖北省監(jiān)利中學(433300)雷雨田

1提出問題

一道傳統(tǒng)題，常見解法有數(shù)形結合，三角代換和導數(shù)法，當然也容易想到轉化為一元二次方程來考慮.

思路2題意轉化為f(x)=0在x∈[-4,4]上有兩個不等實根，于是

以上是解答時常見的轉化為一元二次方程的兩種思路，特別是思路2，貌似考慮了x∈[-4,4]的限制，為何與思路1的結果還是一模一樣，是巧合？還是利用一元二次方程根的分布方法判定直線與圓的位置關系根本無效?

聯(lián)想到學習《數(shù)學》必修2(人民教育出版社)P127頁時的困惑：

P127頁第4.2.1節(jié)例1已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓的位置關系.

解：由直線與圓的方程，得

在這個例題的學習時，就有這樣的困惑：由圓C:x2+(y-1)2=5知，問題應當還要加上x∈

2分析問題

思路2考慮f(x)=(k2+1)x2+2kmx+m2-r2=0在x∈[-r,r]上有兩個不等實數(shù)根:

看來真不是巧合，直線與圓的位置關系判定，不需要考慮x∈[-r,r]的限定，不需要用一元二次方程根的分布，只要△>0，直線與圓相交；△=0直線與圓相切；△<0直線與圓相離.

這兩個解法正好解答了前面學習數(shù)學《必修》2教材P127頁的困惑.

那么是否說例題也不需要用根的分布方法來解決了嗎？

再回到原來的例題：

3解決問題

綜上所述，解法一回答了怎樣利用一元二次方程根的分布解直線與圓，直線與半圓的交點個數(shù)的問題.

而解法二、三、四的實質都是將方程根的個數(shù)問題利用數(shù)形結合轉化為兩個圖像的交點個數(shù)問題，其中解法二在處理直線與半圓的交點時更常見.

4高考鏈接

圖1