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例談切線(xiàn)法解導(dǎo)數(shù)壓軸題

山東省泰安市寧陽(yáng)一中(271400)張顯文

切線(xiàn)是曲線(xiàn)割線(xiàn)的極限位置，是曲線(xiàn)的局部幾何性質(zhì)，也可以將切線(xiàn)理解為在曲線(xiàn)局部直線(xiàn)與曲線(xiàn)由相離到接近的極限位置.因其位置的特殊性，在研究直線(xiàn)與曲線(xiàn)位置關(guān)系時(shí)充分利用切線(xiàn)性質(zhì)對(duì)于為減少解題時(shí)的思維量與運(yùn)算量大有裨益.筆者結(jié)合幾例導(dǎo)數(shù)壓軸題具體談一下切線(xiàn)的應(yīng)用.

(Ⅰ)當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍.

解析：(Ⅰ)略；

圖1

所以“f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)”等價(jià)于“ex-kx=0在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根”，等價(jià)于“曲線(xiàn)y=ex與直線(xiàn)y=kx在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)”.

例2(2015泰安市二模21)已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax(a∈R).

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[e2,+∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；

(Ⅱ)若對(duì)任意x∈(1,+∞)，f(x)>k(x-1)+ax-x恒成立，求正整數(shù)k的值.

圖2

解析：(Ⅰ)略；

例3(2013年新課標(biāo)Ⅱ理21)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(Ⅰ)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m,并討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.

解析：(Ⅰ)略;

圖3

(Ⅱ)因?yàn)閙≤2，所以x+m≤x+2,ln(x+m)≤ln(x+2).因?yàn)楹瘮?shù)y=ln(x+2)的圖像上凸，如圖3，在點(diǎn)(-1,0)處的切線(xiàn)方程為y=x+1，所以ln(x+2)≤x+1(“x=-1”時(shí)取等號(hào)).又因?yàn)楹瘮?shù)y=ex的圖像下凸，在點(diǎn)(0,1)的切線(xiàn)方程為y=x+1，所以ex≥x+1(“x=0”時(shí)取等號(hào)).所以ex≥x+1≥ln(x+2)，因?yàn)榈忍?hào)不能同時(shí)取，所以ex>ln(x+2)，于是得ex>ln(x+m)，所以f(x)=ex-ln(x+m)>0，不等式得證.

例4(2014年新課標(biāo)Ⅱ文21)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2，曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)證明：當(dāng)k<1時(shí)，曲線(xiàn)y=f(x)與直線(xiàn)y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).

圖4

解析：(Ⅰ)a=1；