?

尋根問源多方探究
——一道數(shù)學(xué)競賽題的探究歷程

江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué)(215512)殷偉康吳進

1問題提出

2(b-a)≤cosπa-cosπb.(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題第13題)

此題雖然是一道解答題，但題干精練簡潔，個性鮮明，內(nèi)涵豐富，看似普通，卻越探索越感到有“味道”，越能體會到命題者的匠心獨具，不虧為一道魅力無窮的好題.筆者試從探索其解法入手，逐步揭開它“神秘”的面紗，并給出它的奇妙多解.

2.常規(guī)方法

對于學(xué)過導(dǎo)數(shù)的學(xué)生，此題的入手并不難，根據(jù)所給式子的結(jié)構(gòu)特征，通過聯(lián)想，可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+cosπx ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進行證明.

這個證法是參考答案給出的，筆者試從學(xué)生實際認知和思維能力角度出發(fā)來思考問題，探究其解法.上述證明過程中的二階求導(dǎo)對部分學(xué)生來說不易理解，能否進一步改進證法使它能更適合一般學(xué)生的“口味”.

x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,π)f'(x)-0+0-f(x)↘極小值↗極大值↘

下面同證法一.

通過對原解題方法的改進，使其更貼近學(xué)生的實際思維水平，這是因為二階求導(dǎo)在中學(xué)階段并沒有給出相應(yīng)的實際意義，而且接觸得很少，所以一般不直接去涉及這方面內(nèi)容.

3三角方法

筆者在不經(jīng)意間想到，上述解題方法涉及到導(dǎo)數(shù)知識，但在我市有不少高一學(xué)生也參加了這次高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，他們僅學(xué)過了蘇教版《必修一》和《必修四》，掌握的僅是函數(shù)、三角、向量等知識，那么他們應(yīng)如何入手求解這個問題呢？筆者根據(jù)問題結(jié)論的外表形態(tài)與結(jié)構(gòu)，聯(lián)想相關(guān)圖形(余弦函數(shù)圖像)，試從三角函數(shù)圖像角度入手，運用數(shù)形結(jié)合進行求解.

圖1

①+②有cosπa-cosπb≥2(b-a)成立，即得證．

證法三：直接看y=cosπx,x∈[0,1]的圖像(如圖2)，如圖過點A、B分別作x軸、y軸的垂線，兩垂線相交于點M，利用證法二設(shè)點A、B，則M(a,cosπb)，記M′為(0，-1)，則|AM|=cosπa-cosπb，|BM|=b-a．考察y=cosπx,x∈[0,1]的圖像，根據(jù)其凹凸性知∠ABM≥∠A′B′M′， ∴tan∠ABM≥tan∠A′B′M′， 即

圖2

我們知道，余弦函數(shù)圖像是可由正弦函數(shù)圖像變換得來的，能否利用正弦函數(shù)來處理呢？

圖3

此法讓人感到：圖像清晰，方法簡明，一氣呵成，妙解也！

此結(jié)論證法較多，下面用導(dǎo)數(shù)方法證之：

4解題反思

章建躍先生認為，從數(shù)學(xué)角度衡量，“好題”應(yīng)具有以下“品質(zhì)”：與重要的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)相關(guān)，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識的聯(lián)系性，解題方法自然、多樣，具有自我生長的能力等；從培養(yǎng)思維能力的角度，則應(yīng)有：問題是自然的，對學(xué)生的智力有適度的挑戰(zhàn)性，題意明確、不糾纏于細枝末節(jié)，表述形式簡潔、流暢、好懂等．按此“標準”，上述競賽題就是一個“好題”，問題正好貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，既有解決的可能性，又有挑戰(zhàn)性，它不僅適合不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)和探究，而且還可以在追根溯源的過程中，加以引伸與推廣.

反思解題過程，分析問題特征、數(shù)學(xué)關(guān)系，重新審視探究過程(上述四種證法)，不難發(fā)現(xiàn)原問題的實質(zhì)就是三角函數(shù)的凹凸性. 函數(shù)f(x)的凹凸性的知識在高中教材中有其蹤跡，如蘇教版《數(shù)學(xué)·必修1》第二章第二節(jié)“指數(shù)函數(shù)”第55頁習(xí)題“探究·拓展”第12題，第二章第三節(jié)“對數(shù)函數(shù)”第71頁習(xí)題“探究·拓展”第12題.若能以這兩個“探究·拓展”習(xí)題作為探究問題，引導(dǎo)學(xué)生開展有效的探活動，在探究活動中讓學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，可以使學(xué)生深切體驗到新知識的產(chǎn)生、證明和應(yīng)用過程，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，領(lǐng)悟其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)能力.教師應(yīng)抓住時機，及時對這兩個習(xí)題進行適度拓展與延伸，誘導(dǎo)學(xué)生作進一步的探究，還可以適時引進判斷函數(shù)f(x)的凹凸性的簡潔方法(二階求導(dǎo))，有利于學(xué)生加深對函數(shù)f(x)的凹凸性的理解和運用，把握函數(shù)f(x)的凹凸性的本質(zhì)規(guī)律，促進學(xué)生思維由具體向抽象推進.這樣的教學(xué)才是有效的，使學(xué)生遇到上述相似問題就會產(chǎn)生有效聯(lián)想，通過類比，進行合理求解.否則，不僅良好的教學(xué)素材會被輕易地“滑過”，而且很難想象學(xué)生會聯(lián)想到這一方面知識進行有效思維.

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認識，是從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)認識中提煉而得出的數(shù)學(xué)觀點.上面四種證法中的后三種證法均是運用數(shù)形結(jié)合思想進行求解，即由問題的結(jié)論特征，聯(lián)想到余弦函數(shù)或正弦函數(shù)圖像，進而發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而使代數(shù)問題幾何化，使問題得到解決.筆者從“形”的角度進行思考，抓住題目中所給的式子，觀察其結(jié)構(gòu)特征，從它們的幾何意義入手.根據(jù)問題所給信息，通過數(shù)形聯(lián)想，挖掘其幾何背景，進行圖形表征，利用數(shù)形結(jié)合思想，得到新穎、優(yōu)美、簡潔的解題方法.