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2015年國際數(shù)學(xué)奧林匹克不等式問題及解答集粹

南昌大學(xué)附屬中學(xué)(330047)王文江

筆者從2015年世界各國數(shù)學(xué)奧林匹克近百道不等式題中精心挑選出特征鮮明風(fēng)格迥異的好題若干，并配上十分漂亮雅致的解答，以饗老師與同學(xué).

例1(2015年羅馬尼亞數(shù)學(xué)奧林匹克) 已知a,b,c是滿足a>bc2,b>ca2,c>ab2的正數(shù),求abc(a-bc2)(b-ca2)(c-ab2)的最大值.

解：∵(ab-bc)2+(bc-ac)2+(ac-ab)2≥0,∴(bc+ca+ab)2≥3abc(a+b+c),

(-1

例8(2015年韓國數(shù)學(xué)奧林匹克) 已知a,b,c,x,y是滿足a2+b2+c2=x2+y2=1的實(shí)數(shù).求(ax+by)2+(bx+cy)2的最大值.

例9(2015年韓國數(shù)學(xué)奧林匹克)已知a,b,c,x,y是滿足a2+b2+c2+x2+y2=1的實(shí)數(shù).求(ax+by)2+(bx+cy)2的最大值.

解：∵(ax+by)2+(bx+cy)2≤(ax+by)2+(bx+cy)2+(cx-ay)2=(x2+y2)(a2+b2+c2)+2(ab+bc-ca)xy(*)