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一道高考模擬試題的多視角剖析

四川省成都市石室中學(610010)蘇文玉

以函數(shù)導數(shù)為背景，對函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點進行分析，并對零點的分布，零點的大小進行判斷、證明的題目在各地的高考試題及模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)，此類題能較好考察學生函數(shù)中的分析能力，函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式以及構(gòu)造函數(shù)解決問題的能力.并且此類題目中切入點比較多，思維開闊.例如我校在近期月考中選擇題壓軸題第12題就是這種情景，下面先看原題及解法.

題目已知x1,x2是函數(shù)f(x)=ex-ax的兩個零點，且x1

(A)a>e(B)x1+x2>2(C)x1x2>1

(D)函數(shù)有極小值點x0,x1+x2<2x0

解法1：數(shù)形結(jié)合視角.

就選填題來說，先用特殊分析的方式選出正確的選項.

如圖1，當y=k與y=xe-x有兩個交點時，令k→0，由圖知x1+x2>2,B對.同樣，從圖形可知當k比較小時，x1比較接近0，而x2為一個正數(shù)，此時有

圖1

x1x2<1，故C錯.又易得f(x)的極小值點x0=lna.∵ex1=ax1,ex2=ax2?ex1+x2=a2x1x2

評析：解法1利用函數(shù)與方程的思想，將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點的問題，并利用數(shù)形結(jié)合，用極限的思想選出了正確答案.作為選填題來說，是比較有效的一種方法，但不具有嚴謹性.但從數(shù)學思考的角度來說，這正是我們平時遇到這類探究型壓軸題的思維模式，先利用特殊方法(特殊點、特殊值、圖形等)得到正確的結(jié)果，再利用嚴密的數(shù)學理論證明結(jié)論.體現(xiàn)了“大膽假設(shè)、小心求證”的思維模式,下面就從多個角度來證明x1+x2>2和x1x2<1這兩個結(jié)論.

解法2：消元視角一.

評析：本解法從消元的角度，消掉元a，得到一個關(guān)于x1,x2的多元不等式證明，利用換元的思想，將多元不等式證明變?yōu)榱藛卧坏仁?，并通過構(gòu)造函數(shù)證明了相應(yīng)不等式.值得讀者思考的是，為什么消元時要用兩式相減來消去a，而不直接消元，這是因為為了使得欲證明的不等式具有對稱性.同時對于本題雙參不等式的證明，也可采取主元思想來證明，這個留給讀者去完成.

解法3：消元視角二.

解法2和解法3都從消元的角度來切入這類多元問題，這種思想在高考中也經(jīng)常出現(xiàn)，比如下面兩道高考題留給讀者練習：

(Ⅰ)討論f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)存在兩個極值點x1,x2，且f(x1)+f(x2)>0，求a的取值范圍．

(2014年高考天津卷理科第20題)已知函數(shù)f(x)=x-aex(a∈R),x∈R，已知函數(shù)y=f(x)有兩個零點x1,x2，且x1

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅲ)證明：x1+x2隨著a的減小而增大.

解法4：從極值點偏移視角.

由解法1數(shù)形結(jié)合可知，之所以出現(xiàn)這樣的不等關(guān)系，本質(zhì)是因為解法1中函數(shù)g(x)=xe-x在(0，1)單增，在(1，+∞)單減，但圖像并不關(guān)于x=1對稱，在(0，1)單增速度快于在(1，+∞)單減速度，所以產(chǎn)生不等式x1+x2>2,x1x2<1.我們經(jīng)常稱此為極值點偏移或類對稱.下面就用對稱變換的角度，通過構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)來證明上述不等式.

(ⅰ)先證x1+x2>2.令φ(x)=g(x)-g(2-x)=xe-x-(2-x)ex-2,x∈(0,1).φ′(x)=e-x-xe-x+ex-2-(2-x)ex-2=(1-x)e-x+(x-1)ex-2=(1-x)(e-x-ex-2),∵x∈(0,1),∴-x>x-2,∴e-x>ex-2，∴φ′(x)>0.∴φ(x)在區(qū)間(0，1)上單增，∴φ(x)<φ(1)=0.∵g(x2)=g(x1)2-x1?x2+x1>2.

同樣給出兩道高考題留給讀者練習.

(2010年高考天津卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(Ⅱ)已知函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱，證明當x>1時，f(x)>g(x)；

(Ⅲ)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明x1+x2>2.

(2011年高考遼寧卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅲ)若函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明：f′(x0)<0.

其實，解決此類根的分布的不同方法，實質(zhì)上都是把兩個變元的不等式轉(zhuǎn)化為一元問題求解，途徑都是構(gòu)造函數(shù).所以解法的本質(zhì)就是構(gòu)造函數(shù).文[1]中邢老師的解法是根據(jù)對稱性構(gòu)造函數(shù)，而文[2]中賴老師轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均的解法是捆綁構(gòu)造函數(shù).本文則通過一道調(diào)研試題的多角度思考，給出了四種不同的解題視角，不僅體現(xiàn)出不同的思維層次，并且蘊含了深刻的數(shù)學思想方法，也體現(xiàn)了數(shù)學研究中的從特殊到一般的探究過程，在數(shù)學的教育教學中，通過一題多思、一題多解、一題多講，可以鞏固學生知識，訓練學生思維，開拓學生視野.利用多角度去看一道題，強化思維的連貫性、知識的銜接，能夠全面利用所學知識解決一些實際問題，對培養(yǎng)學生對知識的靈活應(yīng)用有著重要的幫助.

參考文獻

[1]刑友寶.極值點偏移問題的處理策略[J].中學數(shù)學教學參考.上旬，2014(7)：19-22.

[2]賴淑明.從對數(shù)平均談極值點偏移問題[J].中學數(shù)學研究(廣州).上旬，2015(4)：31-32.