劉欽澤

摘 要：橢圓與雙曲線問題是高中數(shù)學(xué)中非常重要的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)并且在考試的時(shí)候也是重要的考點(diǎn)，所以在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)生對(duì)于橢圓與雙曲線交點(diǎn)的問題一定要做到心中有數(shù)，對(duì)于每一種交點(diǎn)的情況應(yīng)該非常熟悉，能夠結(jié)合實(shí)際問題情境，采用橢圓與雙曲線交點(diǎn)的知識(shí)解決問題，因?yàn)楹芏囝}目都是圍繞橢圓與雙曲線相交或者相切的問題再延伸。在讀題的過程中要善于識(shí)別并且找準(zhǔn)解題突破點(diǎn)，本文就高中數(shù)學(xué)中橢圓與雙曲線交點(diǎn)問題的種種情況進(jìn)行了細(xì)致的探究，并且就如何解決相關(guān)的應(yīng)用題提出了幾點(diǎn)建立。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；橢圓；雙曲線；交點(diǎn)；相切；相交

一、高中數(shù)學(xué)中橢圓與雙曲線交點(diǎn)的問題

高中數(shù)學(xué)中橢圓與雙曲線的交點(diǎn)問題主要涉及到四種情形，分別是當(dāng)橢圓和雙曲線的長(zhǎng)軸都在x軸上時(shí)；橢圓與雙曲線的長(zhǎng)軸都在y軸上時(shí)；橢圓的長(zhǎng)軸在x軸上，雙曲線的交點(diǎn)在y軸上時(shí)；橢圓的長(zhǎng)軸在y軸上，雙曲線的長(zhǎng)軸在x軸上；這四種情況的解題思路是類似的，前提都是建立在對(duì)橢圓和雙曲線性質(zhì)熟練掌握的基礎(chǔ)上的，設(shè)四種情況下橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)均為a，短軸長(zhǎng)均為b，雙曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng)均為d，虛短軸長(zhǎng)均為e。設(shè)它們?cè)谟薪稽c(diǎn)的情況下的交點(diǎn)為M。下面對(duì)于這四種交點(diǎn)問題進(jìn)行細(xì)致的探究。

（一）橢圓和雙曲線的長(zhǎng)軸都在x軸上

當(dāng)橢圓與雙曲線的長(zhǎng)軸都在x軸上時(shí)又分為以下三種情況：當(dāng)ad時(shí)，橢圓與雙曲線有四個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)橢圓與雙曲線關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的性質(zhì)，四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱。所以可設(shè)在第一象限的交點(diǎn)為M1（x0，y0），第二象限內(nèi)交點(diǎn)M2（-x0，y0），第三象限內(nèi)交點(diǎn)M3（-x0，-y0），第四象限內(nèi)交點(diǎn)M4（x0，-y0）。首先，聯(lián)立橢圓與雙曲線的方程解出橢圓和雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)分別為M1（ad，be），M2（-ad，be），M3（-ad，- be），M4（ad，- be）。

（二）橢圓與雙曲線的長(zhǎng)軸都在y軸上

當(dāng)橢圓與雙曲線的長(zhǎng)軸都在y軸上時(shí)又分為以下三種情況：當(dāng)ad時(shí)，橢圓與雙曲線的圖像存在四個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)存在對(duì)稱性，所以可設(shè)在第一象限的交點(diǎn)為M1（x0，y0），第二象限內(nèi)交點(diǎn)M2（-x0，y0），第三象限內(nèi)交點(diǎn)M3（-x0，-y0），第四象限內(nèi)交點(diǎn)M4（x0，-y0）。根據(jù)交點(diǎn)情況，結(jié)合橢圓與雙曲線的方程得出橢圓和雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)，分別為M1（be，ad），M2（-be，ad），M3（-be，- ad），M4（be，-ad）。

（三）橢圓的長(zhǎng)軸在x軸上，雙曲線的交點(diǎn)在y軸上

橢圓的長(zhǎng)軸在x軸上，雙曲線的交點(diǎn)在y軸上，兩者的位置關(guān)系同樣根據(jù)兩者的長(zhǎng)短軸的關(guān)系分為三種情況：當(dāng)bd時(shí)，橢圓與雙曲線的圖像存在四個(gè)交點(diǎn)，四個(gè)交點(diǎn)分別存在于第一、二、三、四象限內(nèi)，設(shè)在第一象限的交點(diǎn)為M1（x0，y0），第二象限內(nèi)交點(diǎn)M2（-x0，y0），第三象限內(nèi)交點(diǎn)M3（-x0，-y0），第四象限內(nèi)交點(diǎn)M4（x0，-y0）根據(jù)兩者的交點(diǎn)情況，結(jié)合橢圓與雙曲線的方程，聯(lián)立得出橢圓和雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)為M1（ae，bd），M2（-ae，bd），M3（-ae，-bd）， M4（ae，-bd）。

（四）橢圓的長(zhǎng)軸在y軸上，雙曲線的長(zhǎng)軸在x軸

當(dāng)橢圓的長(zhǎng)軸在y軸上，雙曲線的長(zhǎng)軸在x軸上時(shí)，兩者的位置關(guān)系同樣根據(jù)兩者的長(zhǎng)短軸的關(guān)系分為三種情況：當(dāng)bd時(shí)，橢圓與雙曲線的圖像有四個(gè)交點(diǎn)，我們?nèi)匀豢梢栽O(shè)在第一象限的交點(diǎn)為M1（x0，y0），第二象限內(nèi)交點(diǎn)M2（-x0，y0），第三象限內(nèi)交點(diǎn)M3（-x0，-y0），第四象限內(nèi)交點(diǎn)M4（x0，-y0）（根據(jù)兩者的交點(diǎn)情況，結(jié)合橢圓與雙曲線的方程，聯(lián)立得出橢圓和雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)為M1（bd，ae），M2（- bd，ae），M3（-bd，-ae）， M4（bd，- ae）。

二、結(jié)語

綜上所述，對(duì)于橢圓與雙曲線的交點(diǎn)問題是高中數(shù)學(xué)經(jīng)?？疾斓膬?nèi)容，所以在遇到此類問題的時(shí)候一定要善于辨析，找出兩者的位置關(guān)系充分結(jié)合橢圓與雙曲線的圖形，對(duì)于不同情況下圖像的表示情況，結(jié)合兩者的方程，接觸問題，對(duì)于橢圓與雙曲線的交點(diǎn)問題，什么情況下有幾個(gè)交點(diǎn)，怎么根據(jù)具體的方程式解出答案都是值得仔細(xì)思考的，對(duì)于兩者的交點(diǎn)問題能夠在理解的基礎(chǔ)上，結(jié)合圖像，加強(qiáng)記憶，這樣對(duì)于很多涉及到橢圓與雙曲線交點(diǎn)的問題就能迎刃而解。

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