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        借助函數(shù)圖像討論含參數(shù)方程解的情況

        2017-06-20 00:02:38楊姝宇
        數(shù)學學習與研究 2017年11期
        關(guān)鍵詞:拋物線

        楊姝宇

        我們在解有關(guān)含參數(shù)的方程時,經(jīng)常遇到這樣一類問題,某參數(shù)屬于任意實數(shù),討論關(guān)于x的方程(其中含有此參數(shù))的解的情況.解這類習題時,若單純地通過解方程來考慮,有時就要遇到一些比較復雜的方程,如,無理方程等等.這樣就會帶來比較煩瑣的計算.這里我想通過幾道例題介紹一種方法,借助于函數(shù)的圖像,根據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì),來討論含參數(shù)方程解的情況.

        例1 已知a∈R,討論關(guān)于x的方程2x+1=x+a的解的情況.

        解 令y1=2x+1,y2=x+a,分別作出圖像.

        y1=2x+1的圖像是拋物線y2=2x+1(y≥0),它與x軸交于A-12,0,y2=x+a的圖像是斜率為1的平行直線系如圖示.

        當直線y=x+a過點A-12,0,a=12,它與拋物線y2=2x+1(y≥0)有2個交點,隨著a的減少,直線向下平移,兩圖像只有1個交點,即a<-12時,有1個交點.

        隨著a的增加,直線向上平移,直至它與拋物線相切只有1個交點B之前,兩圖像有2個交點.

        直線與拋物線(一部分)只有1個交點的條件是二次方程(x+a)2=2x+1有2個相等的實數(shù)根,即Δ=(2a-2)2-4(a-1)=0,得a=1,

        ∴當12≤a≤1時,有2個交點,當 a=1時,有1個交點.

        隨著a的增加,直線再向上平衡,與拋物線無交點,則a>1,無交點.

        這樣,得出結(jié)論:a<12時,原方程有1個解;12≤a≤1時,原方程有2個解;a=1時,原方程有1個解;a<1時,原方程無解.

        例2 已知a∈R,討論方程log2x+1=2log2(x-a)的解的情況.

        解 x滿足條件x>0,x-a>0,

        即x>0,x>a.

        在此條件下,原方程可化為lg22x=log2(x-a)2.

        即2x=(x-a)2.

        令y1=2x,y2=(x-a)2.

        ① 直線y=2x和拋物線y=(x-a)2只有1個交點(即相切)條件是二次方程(x-a)2=2x有2個相等的實根.即Δ=(2a+2)2-4a2=0,8a+4=0,a=-12.

        ∴a=-12時,有1個交點,滿足x>0,x>-12, 即x>0.

        ② 拋物線向左移,當a<-12時,直線和拋物線無交點.

        ③ 拋物線向右移,(ⅰ)-120.

        (ⅱ)a=0時,直線與拋物線有兩個交點(0,0),(2,4).

        又∵x>0,∴有1個交點.

        (ⅲ)a>0時,x>a,有1個交點.

        綜上,得出結(jié)論:a<-12時,原方程無解;a=-12時,原方程有1個解;-12

        例3 已知k∈R,討論關(guān)于x的方程|x2-1|-x-k=0的解的情況.

        解 原方程可化為|x2-1|=x+k.

        令C1:y1=|x2-1|;C2:y2=x+k.

        作出函數(shù)y1=|x-1|和y2=x+k的圖像,考慮交點即可以得出結(jié)論.

        ① k<-1時,C1與C2無交點,原方程無解.

        ② k=-1時,C1與C2有1個交點,原方程有1個解.

        ③ -1

        ④ k=1時,C1與C2有3個交點,原方程有3個解.

        ⑤ 相切時,-x2+1=x+k,x2+x+k-1=0,Δ=1-4(k-1)=0,k=54時,C1與C2有3個交點,原程有3個解.

        ⑥ 1

        ⑦ k>54時,C1與C2有2個交點,原程有2個解.

        例4 已知曲線C:y=|x2-8x+16+λ|(λ為常數(shù)),直線l:y=2x-4,由λ的取值范圍確定曲線C與直線l的交點個數(shù).

        請讀者自己作出圖像并討論交點個數(shù).

        從上面幾例題可以看出,如果我們遇到有關(guān)討論含參數(shù)方程解的個數(shù)問題,可以借助于函數(shù)圖像,找到一條曲線和一條動曲線,通過動曲線的移動,尋找參數(shù)的變化范圍,確定兩曲線交點的個數(shù),從而達到討論清楚方程解的個數(shù)的目的.這樣,就可簡潔明了地解決問題.

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