楊姝宇
我們在解有關(guān)含參數(shù)的方程時,經(jīng)常遇到這樣一類問題,某參數(shù)屬于任意實數(shù),討論關(guān)于x的方程(其中含有此參數(shù))的解的情況.解這類習題時,若單純地通過解方程來考慮,有時就要遇到一些比較復雜的方程,如,無理方程等等.這樣就會帶來比較煩瑣的計算.這里我想通過幾道例題介紹一種方法,借助于函數(shù)的圖像,根據(jù)函數(shù)的圖像和性質(zhì),來討論含參數(shù)方程解的情況.
例1 已知a∈R,討論關(guān)于x的方程2x+1=x+a的解的情況.
解 令y1=2x+1,y2=x+a,分別作出圖像.
y1=2x+1的圖像是拋物線y2=2x+1(y≥0),它與x軸交于A-12,0,y2=x+a的圖像是斜率為1的平行直線系如圖示.
當直線y=x+a過點A-12,0,a=12,它與拋物線y2=2x+1(y≥0)有2個交點,隨著a的減少,直線向下平移,兩圖像只有1個交點,即a<-12時,有1個交點.
隨著a的增加,直線向上平移,直至它與拋物線相切只有1個交點B之前,兩圖像有2個交點.
直線與拋物線(一部分)只有1個交點的條件是二次方程(x+a)2=2x+1有2個相等的實數(shù)根,即Δ=(2a-2)2-4(a-1)=0,得a=1,
∴當12≤a≤1時,有2個交點,當 a=1時,有1個交點.
隨著a的增加,直線再向上平衡,與拋物線無交點,則a>1,無交點.
這樣,得出結(jié)論:a<12時,原方程有1個解;12≤a≤1時,原方程有2個解;a=1時,原方程有1個解;a<1時,原方程無解.
例2 已知a∈R,討論方程log2x+1=2log2(x-a)的解的情況.
解 x滿足條件x>0,x-a>0,
即x>0,x>a.
在此條件下,原方程可化為lg22x=log2(x-a)2.
即2x=(x-a)2.
令y1=2x,y2=(x-a)2.
① 直線y=2x和拋物線y=(x-a)2只有1個交點(即相切)條件是二次方程(x-a)2=2x有2個相等的實根.即Δ=(2a+2)2-4a2=0,8a+4=0,a=-12.
∴a=-12時,有1個交點,滿足x>0,x>-12, 即x>0.
② 拋物線向左移,當a<-12時,直線和拋物線無交點.
③ 拋物線向右移,(ⅰ)-120.
(ⅱ)a=0時,直線與拋物線有兩個交點(0,0),(2,4).
又∵x>0,∴有1個交點.
(ⅲ)a>0時,x>a,有1個交點.