全國(guó)卷中，曲線的切線是高考的高頻考點(diǎn)。筆者所在學(xué)校的最近一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，有如下題目（多選題）：D.當(dāng)a=2，b＞0 時(shí)，有且只有一條切線此題如果用常規(guī)解法設(shè)切線再去求解，無異于做一道解答題，耗時(shí)頗多，可不可以小題小做呢？筆者不禁聯(lián)想到之前研究三次函數(shù)切線條數(shù)問題，希望從中得到啟發(fā).一、解法探究關(guān)于三次函數(shù)的切線條數(shù)問題，有如下結(jié)論：點(diǎn)P（x0，y0）為三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）所在平面上一點(diǎn).設(shè)函數(shù)f（x）的圖像在拐點(diǎn)處的切線為l

0230)橢圓的切線問題是高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí),也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,2022年天津卷第19題、2021年天津卷19題都考查了橢圓的切線.1 橢圓切線方程的探究a2(yT+y0)(yT-y0)=-b2(xT+x0)(xT-x0).利用割線逼近切線的思想,當(dāng)點(diǎn)T無限趨近于點(diǎn)P時(shí),割線PT可近似看作橢圓在點(diǎn)P處的切線,此時(shí)割線PT的斜率即為橢圓在點(diǎn)P處的切線斜率,這一過程可以用極限思想表達(dá)為由直線的點(diǎn)斜式得切線方程為證明設(shè)l:y=kx+m,聯(lián)立橢圓方程并消去

在x= 0處公共切線, 以及當(dāng)x∈(0,+∞) 時(shí),y= shx為凸函數(shù)(因y′′= shx＞0),所以曲線y= shx在其切線y=x上方,即x＜shx(x＞0).y= thx為凹函數(shù)(因), 所以曲線y= thx在其切線y=x下方,即thx＜x(x＞0). 故(7)式得證.圖1評(píng)析根據(jù)函數(shù)的凹凸性,利用曲線與切線的位置關(guān)系證明不等式,這是切線法證明不等式的思路.3. 在2022 年高考題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù).本文將求解切線方程分為已知切點(diǎn)和未知切點(diǎn)兩大類,介紹了解題步驟并展示了相關(guān)高考真題的解答過程,供讀者參考.1 已知切點(diǎn)P(x0,y0),求y＝f(x)的切線方程已知切點(diǎn)P(x0,y0),欲求y＝f(x)的切線方程,可以用如下方法解題.第一步:利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù);第二步:求切線的斜率f′(x0);第三步:寫出切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).令x＝0,得,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為,所以又因?yàn)閤1＜0,所以的

學(xué)1 指數(shù)函數(shù)的切線不等式指數(shù)函數(shù)f(x)=ex的切線不等式為ex≥et(x-t)+et.若t=0，則ex≥x+1；若t=1，則ex≥ex.這些切線不等式在處理與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的壓軸問題時(shí)，可起到化繁為簡(jiǎn)之效.例1任意x∈(0,+∞)，不等式xex-3-x-lnx-a≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析:不等式xex-3-x-lnx-a≥0可化為xex-3-x-lnx≥a.令函數(shù)f(x)=xex-3-x-lnx，則原不等式恒成立，即fmin(x)≥a.因?yàn)閒(x

圖12 關(guān)于圓的切線方程(1)過圓上一點(diǎn)的切線方程已知圓C方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，若P(x0，y0)在圓上，則過點(diǎn)P的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；若P(x0，y0)在圓外，過P作圓的兩條切線PA，PB，則切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.圖2如圖2，P(x0，y0)為圓C上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的切線為l，則CP⊥l.設(shè)直線l：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-

圖12 關(guān)于圓的切線方程(1)過圓上一點(diǎn)的切線方程已知圓C方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，若P(x0，y0)在圓上，則過點(diǎn)P的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；若P(x0，y0)在圓外，過P作圓的兩條切線PA，PB，則切點(diǎn)弦AB所在直線的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.圖2如圖2，P(x0，y0)為圓C上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的切線為l，則CP⊥l.設(shè)直線l：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-

,可以發(fā)現(xiàn)曲線的切線問題是高考中的一個(gè)高頻考點(diǎn),例如,2020年I卷第6 題,II卷理科第5題,III卷第10 題;2021年I卷第7 題,II卷第11 題,甲卷理科第13 題,乙卷理科第21 題;2022年I卷第10,11,14,15 題,II卷第14 題,乙卷理科第21 題等.其中一類過點(diǎn)且與函數(shù)相切的直線條數(shù)問題,在求解時(shí)往往需要以導(dǎo)數(shù)為工具來研究函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征,有較強(qiáng)的綜合性,是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象,邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算,數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良

f(x0)) 處切線y=f′(x0)(x-x0)+f(x0)進(jìn)行放縮. 即當(dāng)函數(shù)y=f(x) 的圖象在區(qū)間[a,b] 下凹(f′′(x)＞0) 時(shí), 有f(x) ≥f′(x0)(x-x0)+f(x0); 當(dāng)函數(shù)y=f(x) 的圖象在區(qū)間[a,b] 上凸(f′′(x)＜0) 時(shí), 則f(x) ≤f′(x0)(x-x0)+f(x0). 這種思想可以實(shí)現(xiàn)以直代曲,化超越函數(shù)為一次函數(shù),在中學(xué)數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用.一、利用指數(shù)函數(shù)切線放縮指數(shù)函數(shù)y= ex在x= 0

兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是_________.解析：∵ y=（x+a）ex，∴ y′=（x+1+a）ex，點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線的切線問題其實(shí)質(zhì)是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其常規(guī)思路為：先設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于x0的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根（此處可作兩條切線等價(jià)轉(zhuǎn)化方程有兩解），求得a的取值范圍.針對(duì)此題我們來進(jìn)一步探究求曲線y=f（x）的切線方程的類型及方法：1. 求切線方程的方法：一點(diǎn)一

曲線上任意一點(diǎn)作切線的方法.本文從中受到啟發(fā)，先證明切線與過拋物線頂點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線的交點(diǎn)有一特殊性質(zhì)，然后利用這一性質(zhì)，給出過拋物線外任意一點(diǎn)作切線的方法，并予以證明.一、先證明一個(gè)與拋物線有關(guān)的命題命題1過拋物線y2=2px外一點(diǎn)P(x0,y0)，作拋物線的切線l，l與y軸相交于點(diǎn)M，則過M且與l垂直的直線必過拋物線的焦點(diǎn).證明先求過點(diǎn)P的切線方程.如圖1，設(shè)切點(diǎn)T(x1,y1)，方程y2=2px(p ＞0) 兩邊對(duì)x求導(dǎo)，2yy′=2p，即:y

就是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率.用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線切線的有關(guān)問題是導(dǎo)數(shù)最基本的應(yīng)用，也是近年高考的一個(gè)熱點(diǎn).本文以2019年的高考試題為例進(jìn)行剖析，力求揭示此類試題的考查形式，探索它們的求解策略.題型一:求切線方程例1 (2019年全國(guó)Ⅰ卷理科13題)曲線y=3(x2+x)ex在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為．解：∵y′=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex，∴曲線在點(diǎn)(0,0)處切線的斜率k=3，∴切線方程為y=3x.例2 (2

要】 圓錐曲線的切線問題是高中階段學(xué)生學(xué)習(xí)理解圓錐曲線的一個(gè)難點(diǎn)，以圓錐曲線的切線性質(zhì)為背景的題目頻頻出現(xiàn)，引起廣大教師和考生的廣泛關(guān)注。如何正確作出切線，計(jì)算出切線方程已經(jīng)成為高三學(xué)生應(yīng)考的一個(gè)必備知識(shí)。【關(guān)鍵詞】 圓錐曲線;切線過圓錐曲線上一點(diǎn)作切線，并求其切線方程，是學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線知識(shí)的過程中一個(gè)頭疼的問題。學(xué)生在代入過程中容易犯錯(cuò)，同時(shí)計(jì)算過程也容易出錯(cuò)。針對(duì)圓錐曲線的切線問題，需要總結(jié)出規(guī)律，以便學(xué)生在高考中能輕松應(yīng)對(duì)，提高解決圓錐曲線的題型

圓錐曲線上一點(diǎn)作切線，并求其切線方程，是學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐曲線知識(shí)的過程中一個(gè)頭疼的問題。學(xué)生在代入過程中容易犯錯(cuò)，同時(shí)計(jì)算過程也容易出錯(cuò)。針對(duì)圓錐曲線的切線問題，需要總結(jié)出規(guī)律，以便學(xué)生在高考中能輕松應(yīng)對(duì)，提高解決圓錐曲線的題型的能力。一、橢圓的切線問題過橢圓上一定點(diǎn)作橢圓的切線方程與過橢圓外的一點(diǎn)作橢圓的兩條切線的切線弦。1.過橢圓上的一點(diǎn)作橢圓的切線解：當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為y=kx+m，代入橢圓方程得（b2+a2k2)x

點(diǎn)（0，0）處的切線方程為________.二、思維延伸本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，能求嗎？改編1 已知曲線y=（x2+ax+1）ex在點(diǎn)（0，f（0））處的切線y=kx+b過點(diǎn)（1，-1），則a+b的值為_______.本題利用待定系數(shù)法求解a，b，k的值，但也有僅僅找出制約關(guān)系.如果曲線上兩點(diǎn)處的兩條切線存在某種位置關(guān)系的條件，也可以改編為取值范圍問題.改編2 已知a，b為常數(shù)，若函數(shù)f（x）=asinx+

】本文介紹了利用切線法解不等式問題的各種類型和相應(yīng)的求解方法，包括一些特定情況下的使用.【關(guān)鍵詞】切線法;解不等式在處理某些函數(shù)不等式的問題時(shí)，常常通過函數(shù)在某點(diǎn)處的切線來近似代替曲線，利用切線將曲線放縮成直線解決，這種辦法易學(xué)好懂，操作方便，本文就切線法在解不等式問題方面做些研究.一、切線法的適用類型引例已知a，b，c≥0，a+b+c=1，記T=4a+1+4b+1+4c+1，求證：T≤21.分析我們?cè)噲D通過放縮將根號(hào)去掉，并且化為一次式，觀察式子的特點(diǎn)，

f（x0））處的切線的斜率，也就是說，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線的斜率是f’（x0）。本文論述了求曲線切線問題“在點(diǎn)”與“過點(diǎn)”的區(qū)別、解析幾何中的最值問題、兩曲線交點(diǎn)處的切線以及公共切線問題、導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用等五個(gè)方面。

的過程中常遇到與切線有關(guān)的問題，有求函數(shù)圖象的切線方程，也有求圓錐曲線的切線方程.在指導(dǎo)學(xué)生解答2018年全國(guó)卷Ⅲ文科第21題的過程中，除了遇到求函數(shù)圖象的切線方程之外，還發(fā)現(xiàn)了利用曲線切線不等式的解題方法，此解法既為解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合考題開辟了新的解題途徑，也實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜的解題過程簡(jiǎn)單化.由于切線問題以各種形式頻繁出現(xiàn)于高考試題之中，所以深入鉆研高考試題中常見的切線問題是十分必要的.一.高考對(duì)切線問題的考查為了掌握高考對(duì)切線問題的考查力度和考查形式，筆者

（x0，y0）的切線方程為x0·xa2+y0·yb2=1，過中心在原點(diǎn)的雙曲線x2a2-y2b2=1上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程是x0·xa2-y0·yb2=1，而過拋物線y2=2px上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為y0y=p（x+x0）.過橢圓、雙曲線上的點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程含x的項(xiàng)中的x2分別被改寫成x0·x，y2改寫成y0·y.而拋物線的切線方程中含y的項(xiàng)中的y2被改寫成y0·y，x卻被改寫成了（x+x0），為什么？

12n在x=處的切線方程y=ax+b，然后再證明（fx）≤ax+b（或（fx）≥ax+b）恒成立，再相加以獲得原不等式的證明.這一方法稱為切線法，其幾何意義是函數(shù)（fx）的圖像總在切線y=ax+b的上方或下方，如何利用切線法證明不等式呢？下面通過課本習(xí)題來舉例說明.例1 （選修4-5第41頁第2題）已知a，b，c，d∈R+，且a+b+c+d=1，求證a2+b2+c2+d2≥.證明：構(gòu)造函數(shù)（fx）=x2，x∈（0，1］，則f（′x）=2x.

)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程的方法為：設(shè)P(x0,y0)是曲線y=f(x)上的一點(diǎn)，則以P為切點(diǎn)的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0)．當(dāng)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線定義知，切線方程為x=x0．下面例析幾種常見的類型及解法.類型一：已知切點(diǎn)，求曲線的切線方程題目中點(diǎn)明切點(diǎn)，只需求出切線的斜率,并代入點(diǎn)斜式方程即可．A.x-y-2=0 B.x+y-2=0C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=0分析

武圓錐曲線中與切線長(zhǎng)相關(guān)的一組等式江蘇省常州高級(jí)中學(xué) (213003)陳 武文[1]把圓的切線長(zhǎng)公式推廣到有心圓錐曲線中.文[2]對(duì)于雙曲線的情形作出了更正與證明.從公式中感受數(shù)學(xué)對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美的同時(shí)，我們也自然地提出兩個(gè)問題：有心圓錐曲線中是否還存在與切線長(zhǎng)相關(guān)的其他等式；拋物線中是否也存在與切線長(zhǎng)相關(guān)的等式.經(jīng)過探究，筆者得到以下一組與切線長(zhǎng)相關(guān)的優(yōu)美等式.圖1橢圓也有類似的性質(zhì)，證明方法與性質(zhì)1類似，不再另證.圖2注:圓本質(zhì)上是橢圓的一種退化形式(

來，涉及圓錐曲線切線的試題很多，主要是求切線方程、研究切線的性質(zhì)、切線的應(yīng)用等幾類問題。探究圓錐曲線的切線作法有利于理解圓錐曲線的本質(zhì)屬性，迅速發(fā)現(xiàn)解題思路，提高分析問題、解決問題的能力。以下舉3例說明。endprint

明一條直線是圓的切線呢？我們先回歸到切線的判定定理中，切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。這就給我們指明，要證明圓的切線，必須滿足兩個(gè)條件：1.直線要經(jīng)過半徑的外端；2.這條半徑要與直線垂直。抓住這兩個(gè)條件，就可以解決圓的切線問題，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，把這兩點(diǎn)歸納起來：有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直；無公共點(diǎn)，作垂直，證半徑。下面我就通過舉例來進(jìn)行說明。1.有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直當(dāng)圓和直線有明確的公共點(diǎn)時(shí)，連接該點(diǎn)與圓心，證明直線

階段求圓上一點(diǎn)的切線方程一般的步驟是：（1）先求圓心和切點(diǎn)的斜率；（2）再用點(diǎn)斜式直線方程求出圓上一點(diǎn)的切線方程。這種方法很實(shí)用但是好多學(xué)生不注意總結(jié)，將點(diǎn)斜式的直線方程轉(zhuǎn)變成了我們的一般式直線方程，錯(cuò)過了將這一結(jié)論推廣的機(jī)會(huì)，也在以后的解題過程中給自己帶來了很大的計(jì)算量。關(guān)鍵字：切線；圖像平移；切點(diǎn)；橢圓上切線中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2016）12-0282-01下面我就從基礎(chǔ)理解、提高理解、遷移理解三個(gè)方

焱導(dǎo)數(shù)視角下曲線切線的求解及應(yīng)用——以解析幾何為例說明筅江蘇省宜興市和橋高級(jí)中學(xué)戴棟焱眾所周知，解析幾何中直線與圓錐曲線位置關(guān)系是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.縱觀近幾年的各省、市的高考試題，直線與圓曲線相切問題經(jīng)常映入我們的眼簾，對(duì)于此類問題的求解關(guān)鍵是切線方程的引入.本文從導(dǎo)數(shù)的視角來引入解析幾何中曲線的切線.一、圓的切線方程過圓x2+y2=r2上的點(diǎn)（x0，y0）的切線方程：對(duì)x求導(dǎo)得2yy′=-2x，所以切線的斜率為k=y′=-y0≠0時(shí)），所以切線方程

覺與誤解。曲線的切線問題，是研究曲線性質(zhì)的重要方面，也是高考?？純?nèi)容。一部分人對(duì)曲線切線的內(nèi)涵與性質(zhì)往往把握不夠準(zhǔn)確，對(duì)解決這類問題的方法不明晰，從而對(duì)該問題產(chǎn)生感官和求解方法論的錯(cuò)誤。一、混淆“在一點(diǎn)處的切線”與“過一點(diǎn)的切線”“在一點(diǎn)處的切線”是指以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線，該點(diǎn)一定在曲線上，切線只有一條。直接由在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值確定切線斜率，進(jìn)而求出此切線方程。而“過一點(diǎn)的切線”，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)。只有確定了切點(diǎn)，才能利用導(dǎo)數(shù)法求斜率，再求切線方程，切線可能不唯

覺與誤解。曲線的切線問題，是研究曲線性質(zhì)的重要方面，也是高考常考內(nèi)容。一部分人對(duì)曲線切線的內(nèi)涵與性質(zhì)往往把握不夠準(zhǔn)確，對(duì)解決這類問題的方法不明晰，從而對(duì)該問題產(chǎn)生感官和求解方法論的錯(cuò)誤。一、混淆“在一點(diǎn)處的切線”與“過一點(diǎn)的切線”“在一點(diǎn)處的切線”是指以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線，該點(diǎn)一定在曲線上，切線只有一條。直接由在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值確定切線斜率，進(jìn)而求出此切線方程。而“過一點(diǎn)的切線”，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)。只有確定了切點(diǎn)，才能利用導(dǎo)數(shù)法求斜率，再求切線方程，切線可能不唯

關(guān)于三次函數(shù)圖象切線問題的探討韓尚石（延吉市教師進(jìn)修學(xué)校，吉林延吉13000）近年來，三次函數(shù)圖象的切線問題在高考中時(shí)常出現(xiàn)，一些考生感到束手無策。本文利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)，探討了三次函數(shù)過定點(diǎn)的切線問題，以期為學(xué)生解決此類問題提供新的方法、新的思路。三次函數(shù)圖像；切線問題；高等數(shù)學(xué)；方法；思路過一點(diǎn)作三次函數(shù)圖象切線的問題，在歷年高考試題當(dāng)中頻頻出現(xiàn)。如2009年江西省文科第12題，2004年天津市理科第20題，2004年重慶市文科第15題等。這類問題對(duì)于一

張挺雄圓的切線是九年級(jí)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，是在中考中常考的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)。而相當(dāng)一部分學(xué)生在證明一條直線是圓的切線時(shí)，有的無從下手，有的證明過程不完整。下面就圓的切線證明歸納總結(jié)如下：一、掌握切線的判定方法，理解切線的概念與特征1.根據(jù)定義，即和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線。2.到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。3.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。理解上面的概念，必須抓住兩點(diǎn)：①直線經(jīng)過半徑的外端；②直線垂直于這條半

義入手，理解圓的切線的概念與特征1.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.理解這個(gè)概念，必須抓住兩點(diǎn)：（1）直線經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)；（2）直線垂直于這條半徑.這兩個(gè)條件缺一不可.2.切線的特征endprint一、從定義入手，理解圓的切線的概念與特征1.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.理解這個(gè)概念，必須抓住兩點(diǎn)：（1）直線經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)；（2）直線垂直于這條半徑.這兩個(gè)條件缺一不可.2.切線的特征endprint一、從定義入手，

［1］給出了橢圓切線的幾個(gè)有關(guān)性質(zhì)，筆者思考：橢圓和雙曲線同為圓錐曲線，既然橢圓有這樣的性質(zhì)，雙曲線應(yīng)該也有相同的性質(zhì)，或者有類似的性質(zhì).經(jīng)過筆者的探究，發(fā)現(xiàn)答案是肯定的.現(xiàn)在將雙曲線切線的若干性質(zhì)敘述如下.性質(zhì)1 雙曲線的任意一條切線平分該切點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線段所夾的角.圖1所以PT平分∠F1PF2.若點(diǎn)P（x0，y0）在雙曲線的左支，同理可證.即雙曲線的任意一條切線平分該切點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線段所夾的角.性質(zhì)2 自雙曲線外任一點(diǎn)引雙曲線的兩條切線，則該點(diǎn)與一個(gè)焦

x2,y2),則切線MQ,NQ的方程分別為x1x+y1y=a2,x2x+y2y=a2.由點(diǎn)Q在切線MQ,NQ上得x1x0+y1y0=a2;x2x0+y2y0=a2，因此直線MN的方程為x0x+y0y=a2,即(1)設(shè)P(x′,y′)，則橢圓在點(diǎn)P處的切線MN的方程為比較式(1)，式(2),得x0=x′，所以PQ⊥x軸.2 結(jié)論拓廣經(jīng)過上述探究,可得到如下性質(zhì).若將結(jié)論作引申拓廣，則可得：證明設(shè)Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)，則切線MQ

就“什么是曲線的切線？”的觀點(diǎn)不一致。有人認(rèn)為：“從初中圓的知識(shí)切線可知，當(dāng)直線與曲線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做曲線過該點(diǎn)的切線?！币灿腥苏f：“直線是否是曲線過該點(diǎn)的切線與直線和曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)無關(guān)?！边€有許多人無從判斷，說不清道不明。下面就這一點(diǎn)，談一談我個(gè)人的觀點(diǎn)。首先，切線這一概念是在初中三年級(jí)幾何的圓中第一次學(xué)習(xí)，當(dāng)一條直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們就說這條直線是圓的一條切線。同時(shí)我們?cè)诟咧杏?jì)算與圓的切線有關(guān)問題時(shí)，方法之一就是用圓和直線的方程建立方程

曲線一定在該點(diǎn)處切線的同一側(cè)．錯(cuò)因分析：學(xué)生比較熟悉圓、橢圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線的切線，這些曲線在某一點(diǎn)處附近的曲線確實(shí)都在該點(diǎn)處切線的同一側(cè)，學(xué)生往往通過類比．認(rèn)為誤區(qū)一的結(jié)論是正確的，這種先入為主的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)影響了對(duì)切線概念的正確理解．解析：由曲線在某一點(diǎn)處的切線的定義可知，曲線在某一點(diǎn)處的切線是通過該點(diǎn)的割線的極限位置，切線既可以位于切點(diǎn)處曲線的一側(cè)，也可以穿過切點(diǎn)處的曲線．比如y=x3在原點(diǎn)處的切線為x軸，它穿過原點(diǎn)處的曲線．誤區(qū)二函數(shù)在某一點(diǎn)