蘇 玖

一、真題展現(xiàn)

（2019全國Ⅰ卷理科第13題）曲線y=3（x2+x）ex在點（0，0）處的切線方程為________.

二、思維延伸

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，能求嗎？

改編1 已知曲線y=（x2+ax+1）ex在點（0，f（0））處的切線y=kx+b過點（1，-1），則a+b的值為_______.

本題利用待定系數(shù)法求解a，b，k的值，但也有僅僅找出制約關(guān)系.如果曲線上兩點處的兩條切線存在某種位置關(guān)系的條件，也可以改編為取值范圍問題.

改編2 已知a，b為常數(shù)，若函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的圖象上存在兩點A，B，使得在A，B兩點處的切線互相垂直，求a+b的取值范圍.

本題關(guān)鍵就是通過兩條切線互相垂直建立a2+b2=1，在此條件下研究含有a，b的函數(shù)式的取值范圍或最值問題.當(dāng)然也可以通過一條切線和一條法線與坐標(biāo)軸相交產(chǎn)生新的目標(biāo)函數(shù)，于是有：

改編3 已知函數(shù)f（x）=lnx的圖象對應(yīng)曲線C，過C上任意一點A作切線l，再過點A作與l垂直的直線m，設(shè)l，m與x軸的交點分別為M，N，求線段MN中點的橫坐標(biāo)的最大值.

本題通過切線與法線與x軸相交產(chǎn)生線段中點，又是利用導(dǎo)數(shù)求極值的方法研究中點橫坐標(biāo)的最小值，在求解過程中，要利用幾何直觀發(fā)現(xiàn)極值點.以上都是兩條直線產(chǎn)生新的目標(biāo)函數(shù)，但也可以由一條切線與兩條直線相交，研究三角形的面積等.

改編4 已知函數(shù)f（x）=x+的圖象為曲線C，在點T（x0，f（x0））處的切線l與y軸的交點為A，與直線y=x的交點為B，O為坐標(biāo)原點，求△AOB的面積.

前面幾道題都是過曲線上某一點處作切線，也可以過不是曲線上的點作切線.

改編5 已知函數(shù)f（x）= （x+1）ex的圖象為曲線C，求過點（1，0）作曲線C的切線方程.

這道題就是通過切線過已知點，建立方程，求得兩解，從而產(chǎn)生兩條切線，有沒有可能產(chǎn)生三條切線的呢？

改編6 已知b＞a＞0，函數(shù)f（x）=x3-3x對應(yīng)曲線C，過點（a，b）作曲線C的切線l，試探求有三條切線的充要條件.

三、點撥解析

真題解析：因為y=3（x2+x）ex，所以y′=3ex（x2+3x+1），

因此，當(dāng)x=0時，y′=3，于是y=3（x2+x）ex在點（0，0）處的切線斜率k=3，所以，切線方程為y=3x.

改編1解析：因為f′（x）=（x2+（a+2）x+a+1）ex，f（0）=1，于是f′（0）=a+1，因此，切線方程為y-1=（a+1）x.又因為，切線過點（1，-1），于是，-1-1=a+1，即a=-3，即切線方程為y=-2x+1，因此，b=1，所以a+b=-2.

改編2解析：因此f（x）圖象上任意一點的切線的斜率取值范圍為.設(shè)A處的切線斜率為k1（k1≠0），因為兩點處的切線互相垂直，因此，B處的切線斜率為于是有且所以,即a2+b2=1.利用基本不等式，得因此，所以，a+b的取值范圍為

運算策略很多，如利用三角換元法求a+b的取值范圍.設(shè)a=sinθ，則b=cosθ，于是，）因此，a+b的取值范圍為還可以利用直線與圓的位置關(guān)系求解，設(shè)a+b=t，圓心O到直線a+b-t=0的距離為所以.當(dāng)然還可以利用方程思想結(jié)合判別式求解等等.

改編3解析：設(shè)切點A（x0，lnx0），因此切線l的方程為y-lnx0，直線m的方程為y-lnx0=-x0（x-x0），令y=0，分別得xM=x0-設(shè)線段MN中點為T，即有令函數(shù)于是，），因此，當(dāng)0＜x＜e，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞e，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，所以，當(dāng)x=e時，g（x）有最大值故線段MN中點的橫坐標(biāo)的最大值為

改編4解析：因為于是，在T點處的切線方程為.令x=0，得；令y=x，得x=2x0，即因此，點B到y(tǒng)軸的距離為所以，

改編5解析：設(shè)切點為T（x0，y0），因為f′（x）=（x+2）ex，于是切線斜率為f′（x0）=因此切線方程為y-（x0+1）ex0=（x0+2）ex0（x-x0）.又因為，切線過點（1，0），因此有解之得，所以，切線方程為y=或

改編6解析：設(shè)切點為T（x0，x30-3x0），因為f′（x）=3x2-3，于是，在T點處的切線方程為y-x30+3x0=（3x20-3）（x-x0）.又因為過點（a，b），因此，2x30-3ax20+3a+b=0.因為切線有三條，于是切點有三個，即上述方程有三個解，令g（x）=2x3-3ax2+3a+b有三個不同零點.

g′（x）=6x2-6ax，令g′（x）=0，得x1=0，x2=a，列表討論，g（x）的極大值為g（0），g（x）的極小值為g（a）.g（x）有三個零點的充要條件為g（0）＞0且g（a）＜0，即3a+b＞0且-a3+3a+b＜0，所以-3a＜b＜a3-3a，故充要條件為-3a＜b＜a3-3a.

本題是研究過某一點作函數(shù)圖象的切線條數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的零點個數(shù)，即利用導(dǎo)數(shù)求出極大值M和極小值m.三個零點的充要條件為M與m異號；兩個零點的充要條件為M與m之積為零；一個零點的充要條件為M小于零或m大于零.

四、回顧悟道

本組高考改編題是從一道簡單的求切線方程出發(fā)，進(jìn)行不斷的改編：

一是變更題干，在函數(shù)解析式和切線方程中設(shè)置參數(shù)，利用待定系數(shù)法求解；

二是變換函數(shù)圖象上兩條切線的位置關(guān)系，如平行、垂直、傾斜角互補等，尋找解析式中的參數(shù)等式關(guān)系，然后再變更待求目標(biāo)，如二元函數(shù)式的取值范圍、最值等問題；

三是要區(qū)分在曲線上某一點處的切線和過某一點的切線，探求過某一點作曲線的切線條數(shù)；

四是研究由曲線上切線所形成的相關(guān)圖形的面積等最值問題，通過曲線上某一點處切線與法線（與切線垂直的直線）所產(chǎn)生新的問題.

五、小試牛刀

（2019年全國Ⅱ卷文科第10題）曲線y=2sinx+cosx在點（π，-1）處的切線方程為（ ）

A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0

C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0

（改編1）_______

（改編2）______

（改編3）_________

（改編4）________

改編意圖：可以改編函數(shù)的解析式，如正（或余）弦函數(shù)與x一次函數(shù)的線性組合、對數(shù)函數(shù)的復(fù)合形式、指數(shù)函數(shù)的復(fù)合形式等等，也可以由已知切線方程求解析式中的待定系數(shù)，還可以求兩條曲線的公切線方程，還可以研究曲線的一條切線與過切點的法線與x（或y）軸交點的中點問題等等.

（改編1）曲線y=2cosx-x在點（0，2）處的切線方程為______.

（改編2）已知曲線y=aex-2xlnx在點（1，ae）處的切線方程為y=-x+b，則（ ）

A.a=e，b=-2 B.a=e，b=2 C.a=e-1，b=-2 D.a=e-1，b=2

（改編3）已知函數(shù)f（x）=ex的圖象對應(yīng)曲線C，過C上任意一點A作切線l，再過點A作與l垂直的直線m，設(shè)l，m與y軸的交點分別為M，N，求線段MN中點的縱坐標(biāo)的最大值.

（改編4）求曲線C1：y=lnx和曲線C2：y=xlnx的公切線方程.

解析

原題解析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=π時的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程點斜式得答案.

由y=2sinx+cosx，得y′=2cosx-sinx，因此y′|x=π=2cosπ-sinπ=-2，所以曲線y=2sinx+cosx在點（π，-1）處的切線方程為y+1=-2（x-π），即2x+y-2π+1=0.

故選C.

改編1：由題意，可知：y′=-2sinx-1，因為y′|x=0=-2×0-1=-1.

曲線y=2cosx-x在點（0，2）處的切線方程：y-2=-x，

整理，得：x+y-2=0.故答案為：x+y-2=0.

改編2：y=aex-2xlnx的導(dǎo)數(shù)為y′=aex-2lnx-2，則在（1，ae）處的切線方程為y=（ae-2）x+2，由在點（1，ae）處的切線方程為y=-x+b，可得ae-2=-1，b=2，解得a=e-1.

故選D.

改編3：設(shè)A（x0，ex0），f′（x）=ex，于是切線l的方程為y=ex0x+ex0-ex0x0，直線m的方程為令x=0，依次得因此，線段MN的中點T的縱坐標(biāo)為.令其導(dǎo)數(shù)為列表討論知，當(dāng)x=1時，h（x）有最大值為），所以，線段MN中點的縱坐標(biāo)的最大值為

改編4：設(shè)C1上切點為A（x1，lnx1），C2上切點為B（x2，x2lnx2）.對于C1，因為因此在A點處的切線方程為對于C2，因為y′=1+lnx，因此在B點處的切線方程為lB：y=（1+lnx2）x-x2.兩條曲線的公切線實質(zhì)就是lA與lB重合，其充要條件為且lnx1-1=-x2，消去得，，即ex2-1-lnx2-1=0.令h（x）=ex-1-lnx-1（x＞0），則再令則，因此k（x）在 （0，+∞）上單調(diào)遞增.由于k（1）=0，因此，當(dāng)0＜x＜1時，k（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時，k（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在 （1，+∞）上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)x=1時，h（x）有最小值0，即y=h（x）有唯一零點x=1，即x2=1，所以，x1=1.故公切線方程為y=x-1.

解題回顧求曲線上某點處的切線方程，先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用某點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線斜率，然后代入直線的點斜式方程，即可得到切線方程.