南京市第一中學(xué)高三（12）班 江天翼

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，老師經(jīng)常鼓勵我們一題多解.這是很好的方法，有助于我們增強想象力，將知識融會貫通.其實，在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，有無數(shù)的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家、思想家，在不同國度、不同年代、不同學(xué)科研究著相同的問題，嘗試著更高層次、更大問題的一題多解.本文結(jié)合數(shù)學(xué)史，分析勾股定理、龐加萊猜想的殊道同歸，拋磚引玉.

一、勾股定理

我國古代稱直角三角形的兩條邊為“勾和股”，稱斜邊為“弦”.在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，此結(jié)論在我國被稱為“勾股定理”.早在周朝初年（約公元前1100年），周朝大夫商高就發(fā)現(xiàn)了直角三角形的一個特例：“勾三、股四、弦五”，亦稱“商高定理”.

在西方，這個定理被稱為“畢達哥拉斯定理”，亦稱“百牛定理”，是公元前500余年由古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的.盡管比中國人的發(fā)現(xiàn)晚了500～600年，但相傳畢達哥拉斯對這一發(fā)現(xiàn)十分重視，曾宰牛百頭用來祭祀繆斯女神（希臘神話中掌管文藝、科學(xué)之神）.

勾股定理是我們最熟悉的平面幾何中的一個最著名、最精彩、最有用的定理，是數(shù)學(xué)大廈的一塊基石，被天文學(xué)家開普勒譽為幾何學(xué)的一大寶藏.勾股定理至今仍活躍在人們心里，具有強大的生命力，各種證法接連涌現(xiàn)、層出不窮.據(jù)說，現(xiàn)在世界上已有500種證明方法，魯密斯（Loomis）搜集整理的《畢達哥拉斯定理》一書第二版中，就搜集了370種不同的證法.本文列舉幾種簡單而優(yōu)美的證法.

1.趙爽證法

三國時，趙爽在《勾股方圓圖注》中，采用了證明幾何問題的割補原理.

圖1

2.伽菲爾德證法

如圖1，以a，b，c表示勾、股、弦，以a，b為直角邊的每個直角三角形叫做“朱實”，即圖中有4個“朱實”，中間的一個以b-a為邊長的小正方形叫做“中黃實”，以弦c為邊長的大正方形叫做“弦實”，此圖為“弦圖”，由圖可知：c2=（b-a）2+4ab=a2+b2.

詹姆斯·艾伯拉姆·伽菲爾德（1831～1881），美國政治家、數(shù)學(xué)家、教育家，第20任美國總統(tǒng).1876年，他還是一名眾議員時，就發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種巧妙證法（用兩種辦法計算同一梯形的面積），并發(fā)表在《新英格蘭教育雜志》上.

圖2

圖3

3.現(xiàn)代相似三角形證法

作三邊長分別為a，b，c的直角三角形，斜邊c上的高為h，得到兩對相似三角形（如圖3），從而可列出兩組比例式：

二、龐加萊猜想

法國著名數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊（1854～1912）的研究涉及分析學(xué)、數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓撲學(xué)等諸多領(lǐng)域，發(fā)表論文500多篇，出版科學(xué)著作30部，被公認(rèn)為19世紀(jì)末到20世紀(jì)初世界數(shù)學(xué)界的領(lǐng)袖人物.他在1904年發(fā)表的一組論文中，提出其猜想：“單連通的三維閉流形可簡單地理解為一種曲面同胚于三維球面.”后又被推廣為：“任何與n維球面同倫的n維閉流形必定同胚于n維球面.”這就是著名的“龐加萊猜想”.

“龐加萊猜想”是拓撲和幾何的主流，是國際數(shù)學(xué)界長期關(guān)注的一個重大難題，被列為七大“數(shù)學(xué)世紀(jì)難題”之一（設(shè)在波士頓的克萊數(shù)學(xué)研究所于2000年5月24日將它列為“千禧年七大難題”之一，并懸賞100萬美元獎勵這一猜想的證明者）.“龐加萊猜想”的證明有助于科學(xué)家加深對流形性質(zhì)的認(rèn)識，進一步認(rèn)識我們所生存的空間，并對物理學(xué)和工程學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生重要影響.美國《科學(xué)》雜志評出2006年十大科學(xué)進展，證明“龐加萊猜想”位列榜首.

龐加萊本人曾力圖證明這一猜想，但終究未能成功.1960年之前，所有證明（或否證）“龐加萊猜想”的嘗試都未能如愿.1960年，美國傳奇數(shù)學(xué)家史蒂芬·斯梅爾證明龐加萊猜想對五維和五維以上的情形是成立的.20年后，另一位美國數(shù)學(xué)家米歇爾·弗里德曼證明了四維流形拓撲的龐加萊猜想.兩人因此分別獲得1966年和1986年的菲爾茲獎.這樣，龐加萊猜想只剩下三維情形沒有解決，而該猜想當(dāng)初恰恰是針對三維球面而提出的.

解決“龐加萊猜想”有幾種不同的途徑，剛開始是拓撲學(xué)方法，即所謂切割方法，但這個方法到20世紀(jì)70年代就很難進步了.1978年，美國數(shù)學(xué)家威廉·瑟斯頓引進幾何結(jié)構(gòu)方法來做切割，討論了三維流形上的葉狀結(jié)構(gòu)，并對一般流形上葉狀結(jié)構(gòu)的存在、性質(zhì)及其分類得出了普遍的結(jié)果，基本完成了三維閉流形的拓撲分類，獲得1982年的菲爾茲獎.

1982年，美國數(shù)學(xué)家理查德·漢密爾頓發(fā)表了一篇文章，提出一種名為“瑞奇流”的數(shù)學(xué)工具來構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)，這是用微分方程來做的.但他在用“瑞奇流”進行空間變化時，遇到了“奇異點”.如何處理“奇異點”就成為整個龐加萊猜想中最重要的部分.

被譽為“數(shù)學(xué)隱士”的俄羅斯數(shù)學(xué)家格里高里·佩雷爾曼在2002年11月和2003年7月之間，將3份關(guān)鍵論文的手稿粘貼到專門刊登數(shù)學(xué)和物理預(yù)印本論文的網(wǎng)站上，并用電郵通知了幾位數(shù)學(xué)家，聲稱自己證明了幾何化猜想.而“龐加萊猜想”正是幾何化猜想的一個特例.

2006年，朱熹平（中山大學(xué)教授）、曹懷東（中國旅美數(shù)學(xué)家、美國里海大學(xué)講座教授、清華大學(xué)兼職教授，師從丘成桐）在美國數(shù)學(xué)集團創(chuàng)辦的《亞洲數(shù)學(xué)期刊》（2006年6月號）上發(fā)表論文，標(biāo)題為“龐加萊猜想和幾何化猜想的完全證明：漢密爾頓佩雷爾曼關(guān)于RICCI流理論的應(yīng)用”，共328頁.文章一步一步、清清楚楚、完完整整地寫出了整個證明過程.

簡而言之，可以認(rèn)為：在攻克“龐加萊猜想”戰(zhàn)役中，漢密爾頓和丘成桐（著名華裔數(shù)學(xué)家，獲得菲爾茲獎、沃爾夫獎、克萊福特獎這三個世界頂級大獎）一起發(fā)展了一套綱領(lǐng)——用“瑞奇流”來解決這個問題，為破解猜想奠定了基礎(chǔ).基于3篇網(wǎng)站上發(fā)表的論文手稿，佩雷爾曼稱他完成了這個綱領(lǐng).而一個完整的解釋由曹懷東、朱熹平完成.漢密爾頓在2006年8月西班牙馬德里舉行的第25屆國際數(shù)學(xué)家大會上，明確地表達了這個觀點，清楚地提到了丘成桐、曹懷東、朱熹平的貢獻.由于菲爾茲獎只授予40歲以下做出杰出貢獻的青年數(shù)學(xué)家，只有佩雷爾曼因此獲得當(dāng)年的菲爾茲獎.但不知何故，他拒絕領(lǐng)獎.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)家的探究精神，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題和思維方法，具有十分重要和鮮明的現(xiàn)實意義.在很多數(shù)學(xué)概念、定理的發(fā)現(xiàn)、證明中，都活躍著中國前輩的身影，這讓我油然而生崇高的敬意和強烈的民族自豪感，暗暗發(fā)奮，要更加熱愛數(shù)學(xué)，鉆研數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)水平.