江蘇省揚州市新華中學(xué) 王梅蓉 龔海濱
在一次拓展課課后作業(yè)中,同學(xué)們仔細(xì)研究了下面這個問題:
(1)當(dāng)l與x軸垂直時,求直線AM的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,證明:∠OMA=∠OMB.
對于第(2)問同學(xué)們形成了五種各具特色的解題思路.
思路1 利用斜率之和為0
當(dāng)l與x軸重合時,∠OMA=∠OMB=0°;當(dāng)l與x軸垂直時,因為OM為AB的垂直平分線,所以∠OMA=∠OMB;當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時,如圖1,根據(jù)圖形的特征,把要證的∠OMA=∠OMB轉(zhuǎn)化為直線斜率之間的關(guān)系kMA+kMB=0.設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),將直線與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系以及斜率公式依靠代數(shù)運算即可證得結(jié)論.
圖1
思路2 利用角平分線性質(zhì)
當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時,如圖2,設(shè)點O到直線MA,MB的距離分別是d1,d2,直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),則MA:y1x+ (2-x1)y-2y1=0,MB:y2x+(2-x2)y-2y2=0.根據(jù)角平分線的性質(zhì),將要證的∠OMA=∠OMB轉(zhuǎn)化為證明d1=d2,即證再將直線與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可證得結(jié)論.
圖2
思路3 利用三角函數(shù)值相等
當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時,設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),要證∠OMA=∠OMB,只要證tan∠OMA=tan∠OMB,如圖3,過A點作AA′⊥x軸,垂足為A′,過B點作BB′⊥x軸,垂足為B′,又只要證,即證以下同思路2.
圖3
思路4 利用三角形相似
當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時,設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),如圖3,過A點作AA′⊥x軸,垂足為A′,過B點作BB′⊥x軸,垂足為B′,要證 ∠OMA=∠OMB,只要證△MA′A∽△MB′B,又只要證即只要證以下同思路2.
思路5 利用向量數(shù)量積
當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時,設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),運用向量的數(shù)量積公式將∠OMA和∠OMB看成是對應(yīng)的兩向量的夾角,則∠OMA=即證兩邊平方,化簡得以下同思路2.
學(xué)起于思,思起于疑.常有疑點,常有問題,才能常有思考,常有創(chuàng)新.一道數(shù)學(xué)題解出答案并不是解題思維活動的結(jié)束,而是更深入探究的開始.
問:點M是個特殊點嗎?它的背后是否有一些我們沒有發(fā)現(xiàn)的東西呢?
哦,原來點M恰好是橢圓右準(zhǔn)線與x軸的交點.于是我們有如下結(jié)論:
結(jié)論1設(shè)AB是過橢圓的焦點F(c,0)(c>0)的弦,M為橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸的交點,則MF平分∠AMB.
問:再回顧以上幾種思路,是否可以將其優(yōu)化呢?
不難發(fā)現(xiàn),我們可以將思路4優(yōu)化一下,借助于橢圓第二定義來證明三角形相似.
圖4
證明:如圖4,過A,B兩點分別作右準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別是A1,B1,則從而又因為由 ∠AA1M=∠BB1M=90°,知△AA1M∽△BB1M,從而 ∠A1AM=∠B1BM,所以∠AMF=∠BMF,則MF平分∠AMB.
上述這種解法靈活運用了圓錐曲線的第二定義,取得了簡捷、合理的解題效果.學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的法寶就是對數(shù)學(xué)概念的精通.
“特殊化和類比是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”,類比可以引領(lǐng)我們提出新問題、發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、開創(chuàng)新方法.
問:橢圓、雙曲線、拋物線有很多相似的性質(zhì),雙曲線和拋物線的焦點弦是否也有同樣的性質(zhì)呢?
關(guān)于雙曲線、拋物線的焦點弦與相應(yīng)準(zhǔn)線同學(xué)們可以猜想并證明如下性質(zhì):
結(jié)論2設(shè)AB是過雙曲線的焦點F(c,0)(c>0)的弦(點A,B都在雙曲線的右支上),M為雙曲線的右準(zhǔn)線與x軸的交點,則MF平分∠AMB.
結(jié)論3設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點)的弦,M為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點,則MF平分∠AMB.
問:能將上述結(jié)論中的圓錐曲線的焦點一般化嗎?例如,在結(jié)論1中,若將F(c,0)變?yōu)闄E圓內(nèi)定點P(m,0),則點M的坐標(biāo)又是什么?MP平分∠AMB仍然成立嗎?
結(jié)論4如圖5,設(shè)P(m,0)為橢0)內(nèi)一定點,過點P作直線交橢圓于A,B兩點,若直線與x軸交于點M,則MP平分∠AMB.
將結(jié)論4類比到雙曲線、拋物線可以得到同樣的結(jié)論:
結(jié)論5已知雙曲線過點P(m,0)(m>a)作直線交雙曲線于A,B兩點(點A,B都在雙曲線的右支上),若直線x=與x軸交于點M,則MP平分∠AMB.
圖5
結(jié)論6過拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上的任意一點P(m,0)(m>0)的作直線與拋物線交于A,B兩點,點M是點P關(guān)于原點的對稱點,則MP平分∠AMB.
通過探究,我們感受到了圓錐曲線的和諧美和統(tǒng)一美,學(xué)會了類比、猜想、證明等科學(xué)研究的方法.與圓錐曲線有關(guān)的問題一般都是非常有趣的,值得研究的,如能深入其中,我們一定會被它形式的美妙、內(nèi)容的和諧所吸引,流連忘返,美不勝收!
高考題有很強的代表性,我們在研究高考題時要深挖問題的本質(zhì),重視和加強對問題的拓展、引申和變式研究,最大可能地讓其功能得到充分的發(fā)揮,這才是學(xué)習(xí)之本.過程往往比結(jié)果更為重要,探索問題的意義已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了問題解決的本身.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就應(yīng)該這樣勇于探索,敢于創(chuàng)新!