徐詩佳

引例.（2022年新高考全國1卷第15題）

若曲線y=（x+a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是_________.

解析：∵ y=（x+a）ex，∴ y′=（x+1+a）ex，

點評：本題考查了曲線的切線問題其實質是導數(shù)的幾何意義，其常規(guī)思路為：先設出切點橫坐標x0，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于x0的方程，根據此方程應有兩個不同的實數(shù)根（此處可作兩條切線等價轉化方程有兩解），求得a的取值范圍.

針對此題我們來進一步探究求曲線y=f（x）的切線方程的類型及方法：

1. 求切線方程的方法：一點一方向可確定一條直線，在求切線時可考慮先求出切線的斜率（切點導數(shù)）與切點，在利用點斜式寫出直線方程.

2. 若函數(shù)的導函數(shù)可求，則求切線方程的核心要素為切點A的橫坐標x0，因為x0可“一點兩代”，代入到原函數(shù)，即可得到切點的縱坐標f（x0），代入到導函數(shù)中可得到切線的斜率f′（x0）=k，從而一點一斜率，切線即可求. 所以在解切線問題時一定要盯住切點橫坐標，千方百計地把它求解出來.

3. 求切線的問題主要分為兩大類，一類是切點已知，那么只需將切點橫坐標代入到原函數(shù)與導函數(shù)中求出切點與斜率即可;另一類是切點未知，那么先要設出切點坐標（x0，y0），再考慮利用條件解出核心要素x0，進而轉化成第一類問題.

4. 在解析幾何中也學習了求切線的方法，即先設出切線方程，再與二次方程聯(lián)立利用？駐=0求出參數(shù)值進而解出切線方程. 解析幾何中的曲線與函數(shù)同在坐標系下，所以兩個方法可以互通. 若某函數(shù)的圖像為圓錐曲線，二次曲線的一部分，則在求切線時可用解析的方法求解.

5. 在處理切線問題時要注意審清所給已知點是否為切點.“在某點處的切線”意味著該點即為切點，而“過某點的切線”則意味著該點有可能是切點，有可能不是切點. 如果該點恰好在曲線上那就需要進行分類討論了.

下面我們通過幾道例題，從命題的多維度，多層次，多方法進行分析與求解.

例1. 函數(shù)f（x）=ex（3x-2）在x=1處的切線方程為_________.

解析：∵ f（1）=e，∴ 切點坐標為（1，e）.

f′（x）=3ex+（3x-2）ex=（3x+1）ex .

∴ f′（1）=4e，∴ 切線方程為：y-e=4e（x-1）？圯y=4ex-3e.

點評：切點已知時求切線方程是切線問題中較簡單的一類問題，體會切點分別代入到函數(shù)與導函數(shù)中所起到的作用，體會切點橫坐標在切線問題中的關鍵作用.

例2. 已知函數(shù)f（x）=lnx+2x，則：

（1）在曲線f（x）上是否存在一點，在該點處的切線與直線4x-y-2=0平行？

（2）在曲線f（x）上是否存在一點，在該點處的切線與直線x-y-3=0垂直？

不存在一點，使得該點處的切線與直線x-y-3=0垂直.

點評：（1）求切線的關鍵要素為切點，進而若切點已知便直接使用，切線未知則需先設再求. 兩直線平行，垂直關系與直線的斜率密切相關，進而成為解出切點橫坐標的關鍵條件.

（2）在考慮函數(shù)問題時首先要找到函數(shù)的定義域.在解出自變量的值或范圍時也要驗證其是否在定義域內.

責任編輯 徐國堅