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        靈活應(yīng)用切線不等式速解導(dǎo)數(shù)綜合題

        2023-02-11 03:35:34單銘成
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2023年1期
        關(guān)鍵詞:指數(shù)函數(shù)甘薯切線

        單銘成

        南京大學(xué)附屬中學(xué)

        1 指數(shù)函數(shù)的切線不等式

        指數(shù)函數(shù)f(x)=ex的切線不等式為ex≥et(x-t)+et.若t=0,則ex≥x+1;若t=1,則ex≥ex.這些切線不等式在處理與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的壓軸問題時(shí),可起到化繁為簡之效.

        例1任意x∈(0,+∞),不等式xex-3-x-lnx-a≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        解析:不等式xex-3-x-lnx-a≥0可化為xex-3-x-lnx≥a.令函數(shù)f(x)=xex-3-x-lnx,則原不等式恒成立,即fmin(x)≥a.

        因?yàn)閒(x)=xex-3-x-lnx=eln xex-3-x-lnx=eln x+x-3-x-lnx,所以由指數(shù)函數(shù)的切線不等式ex≥x+1得eln x+x-3≥(lnx+x-3)+1,等號取得的條件是lnx+x-3=0,下面說明此方程有解.

        第二階段:占比急速下降階段.這一階段指從1992年開始至1996年.在這5年中世界甘薯總產(chǎn)量相對穩(wěn)定,但中國甘薯總產(chǎn)量有所下滑,導(dǎo)致中國甘薯出口占世界甘薯出口貿(mào)易額的比重急速下降,由90%左右降至1996年的12.5%.

        所以f(x)≥(x+lnx-3)+1-x-lnx=-2,即fmin(x)=-2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2].

        點(diǎn)評:本題求解中先將所證不等式構(gòu)造為與切線不等式ex≥x+1相同的形式,再利用此不等式進(jìn)行放縮處理.變形應(yīng)用中要注意不等式等號成立的條件,此時(shí)可借助二次求導(dǎo)以及函數(shù)的零點(diǎn)存在定理.

        2 對數(shù)函數(shù)的切線不等式

        例2已知函數(shù)f(x)=x2e3x.若x>0時(shí),不等式f(x)≥(a+3)x+2lnx+1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        因?yàn)?x=lne3x,2lnx=lnx2,所以函數(shù)

        由x-1≥lnx(x>0),可得x2e3x-ln (x2e3x)-1≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x2e3x=1時(shí)取等號.下面判斷該方程是否有解.

        綜上,a的取值范圍是(-∞,0].

        點(diǎn)評:不等式ex≥x+1與lnx≤x-1(x>0)可直接進(jìn)行互化.例如,將ex≥x+1中的x用lnx代換,即得lnx≤x-1(x>0).因此本題的求解中若將函數(shù)g(x)進(jìn)行如下變形,即

        也可利用不等式ex≥x+1放縮求解.

        3 三角函數(shù)的切線不等式

        三角函數(shù)的切線不等式常見的是x≥sinx(x≥0),通過此不等式可構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-sinx(x≥0),利用導(dǎo)數(shù)可判斷該函數(shù)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,則f(x)≥f(0)=0.當(dāng)然也可以將切線y=x平移到其他零點(diǎn)位置,得到新的切線再應(yīng)用.類似地,也可以得到y(tǒng)=cosx在相應(yīng)零點(diǎn)處的切線.

        若存在x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2時(shí),f(x1)=f(x2),證明:x1x2

        解析:不妨令 0

        4 正切函數(shù)的切線不等式

        例4已知函數(shù)f(x)=(1-m)sinx+xcosx,當(dāng)m∈(1,2),判斷f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

        點(diǎn)評:熟知正切函數(shù)的切線不等式是快速解決本題的關(guān)鍵.以此為背景的命題,均可借助該不等式求解.

        總之,學(xué)生在備考中要注意積累這些常用的切線放縮法,應(yīng)用這些方法在解題中??裳杆僬业浇忸}的突破口,從而準(zhǔn)確求解.Z

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