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        利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程

        2023-03-13 09:12:38陳澤梁
        高中數(shù)理化 2023年3期
        關(guān)鍵詞:解題

        陳澤梁

        (浙江省岱山中學(xué))

        從近三年高考情況來看,導(dǎo)數(shù)的概念及其運算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等內(nèi)容一直是高考的熱點,常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),有時也會作為解答題中的一問.解題時要掌握函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)定義、幾何意義以及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則,要會求簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).本文將求解切線方程分為已知切點和未知切點兩大類,介紹了解題步驟并展示了相關(guān)高考真題的解答過程,供讀者參考.

        1 已知切點P(x0,y0),求y=f(x)的切線方程

        已知切點P(x0,y0),欲求y=f(x)的切線方程,可以用如下方法解題.

        第一步:利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù);

        第二步:求切線的斜率f′(x0);

        第三步:寫出切線方程y-y0=f′(x0)(x-x0).

        令x=0,得,所以點M的坐標為,所以

        又因為x1<0,所以的取值范圍為(0,1).

        2 已知切線上某一點P(x0,y0)(非切點),求y=f(x)的切線方程

        已知切線上某一點P(x0,y0)(非切點),欲求y=f(x)的切線方程時,可以用如下方法解題.

        第一步:設(shè)切點的坐標為P′(x1,f(x1));

        第二步:寫出過P′(x1,f(x1))的切線方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);

        第三步:將點P的坐標(x0,y0)代入切線方程求出x1;

        第四步:將x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1),可得過點P(x0,y0)的切線方程.

        y′=(x+1+a)ex,

        設(shè)切點為(x0,y0),則,切線的斜率為,切線方程為

        (1)若x1=-1,求a;

        (2)求a的取值范圍.

        (2)由題意知f′(x)=3x2-1,則y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線方程為1)(x-x1),整理得.

        設(shè)該切線與g(x)相切于點(x2,g(x2)),由題意知g′(x)=2x,則g′(x2)=2x2,則切線方程為

        可得

        h′(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)(x-1).

        令h′(x)>0,解得或x>1;令h′(x)<0,解得或0<x<1,故h′(x),h(x)的變化情況如表1所示,因此h(x)的值域為[-1,+∞),故a的取值范圍為[-1,+∞).

        表1

        3 變式練習(xí)

        變式(2016年四川卷理9)設(shè)直線l1,l2分別是函數(shù)

        圖像上點P1,P2處的切線,l1與l2垂直相交于點P,且l1,l2分別與y軸相交于點A,B,則△PAB的面積的取值范圍是( ).

        A.(0,1) B.(0,2)

        C.(0,+∞) D.(1,+∞)

        由已知得k1k2=-1,即.所以切線l1的方程為,切線l2的方程為,即y-lnx1=).分別令x=0,得A(0,-1+lnx1),B(0,1+lnx1).又l1與l2的交點為,所以

        因為x1>1,所以.

        求解切線方程問題,首先要分辨已知點是否為切點,同時還要熟練掌握導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則.在涉及含參問題時,學(xué)生應(yīng)學(xué)會利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或參數(shù)滿足的不等式(組),進而求出參數(shù)的值或取值范圍.

        (完)

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