韓尚石

（延吉市教師進(jìn)修學(xué)校，吉林　延吉　13000）

關(guān)于三次函數(shù)圖象切線問題的探討

韓尚石

（延吉市教師進(jìn)修學(xué)校，吉林延吉13000）

近年來，三次函數(shù)圖象的切線問題在高考中時(shí)常出現(xiàn)，一些考生感到束手無策。本文利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)，探討了三次函數(shù)過定點(diǎn)的切線問題，以期為學(xué)生解決此類問題提供新的方法、新的思路。

三次函數(shù)圖像；切線問題；高等數(shù)學(xué)；方法；思路

過一點(diǎn)作三次函數(shù)圖象切線的問題，在歷年高考試題當(dāng)中頻頻出現(xiàn)。如2009年江西省文科第12題，2004年天津市理科第20題，2004年重慶市文科第15題等。這類問題對(duì)于一些高考考生來說會(huì)感到束手無策，不知如何去解決。那么，如何才能順利解決此類問題，在高考中能迎刃而解呢？本文借助高等數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)三次函數(shù)f（x）=ax3+bx3+cx+d （a≠0）圖像過定點(diǎn)p（m，n）可作幾條切線的問題進(jìn)行了研究，給出了解決此類問題的方法和思路。

一般地，三次函數(shù)f（x）=ax3+bx3+cx+d （a≠0）圖像過定點(diǎn)p（m，n）可作幾條切線呢？下面給出解決方法：

設(shè)三次函數(shù)f（x）=ax3+bx3+cx+d （a≠0）上的點(diǎn)（切點(diǎn)）的坐標(biāo)為M（t，f（t）），則過點(diǎn)M（t，f（t））的三次函數(shù)的切線l的斜率為:

k=f′（t）=3at2+2bt+c

所以，切線l的解析式為

y-f（t）=f′（t）（x-t）

由于切線l過點(diǎn)p（m，n），所以n-f（t）=f′（t）（m-t）。

令g（t）=f′（t）（t-m）-f（t）+n，于是切線的條數(shù)就是由g（t）在實(shí)數(shù)集R上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)決定的。

因?yàn)間′（t）=f"（t）（t-m），f′（t）=3at2+2bt+c，f"（t）=6at+2b，故g′（t）=（6at+2b）（t-m）。

1.若t1=t2，則g（t）是單調(diào)函數(shù)，故切線l只有一條；

2.若t1≠t2，則g（t1），g（t2）分別是函數(shù)g（t）的兩個(gè)極值（極大值，極小值），現(xiàn)結(jié)合g（t）的圖象討論：

（1）當(dāng)g（t1）g（t2）＞0時(shí)，圖象的大致形狀是（圖1），g（t）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故切線l只有一條，說明過點(diǎn)p（m，n）可以作f（x）的一條切線。

圖1

（2）當(dāng)g（t1）g（t2）=U時(shí)，圖象的大致形狀是（圖2），g（t）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，故切線l只有兩條，說明過點(diǎn)p（m，n）可以作f（x）的兩條切線。

圖2

（3）當(dāng)g（t1）g（t2）＜U時(shí)，圖象的大致形狀是（圖3），g（t）有且只有三個(gè)零點(diǎn)，故切；線l有三條，說明過點(diǎn)p（m，n）可以作f（x）的三條切線。

圖3

所以：

當(dāng)且僅當(dāng)g（t1）g（t2）＞U時(shí)，三次函數(shù)f（x）切線l只有一條；

當(dāng)且僅當(dāng)g（t1）g（t2）=U時(shí)，三次函數(shù)f（x）切線l只有兩條；

當(dāng)且僅當(dāng)g（t1）g（t2）＜U時(shí)，三次函數(shù)f（x）切線l有且只有三條。

例題:過點(diǎn)P（1，a）可作f（x）=x3-3x 的三條切線，求a的取值范圍。

解：設(shè)M（t，f（t））為切點(diǎn)，切線l的斜線為k，則k=f′（t）=3t2-3，

所以l的解析式為

y-（t3-3t）=（3t2-3t）（x-t ））。

由于P（1，a）在切線l上，所以，a-（t3-3t）=（3t2-3t）（1-t ），即2t3-3t2=a-3。

令g（t）=2t3-3t2+3-a ，則切線l的條數(shù)與g（t ）在實(shí)數(shù)集R的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。

由于g′（t）=6t2-6t ，令g′（t）=0時(shí)，可得出t1=0，t2=1。因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)g（t1）g（t2）＜0時(shí)，切線l有三條，所以（3-a）（2-3+3-a）＜0，即（3-a）（2-a）＜0，得2＜a＜3。

所以，當(dāng)2＜a＜3時(shí)，過點(diǎn)P（1，a）可作f（x）=x3-3x 的三條切線。

以上，我們探討三次函數(shù)圖象的切線問題，并給出了判斷的方法和解題思路，希望能為學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和探討提供幫助。

G633.6

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2015—01—06