王麗媛

（延邊第二中學(xué)，吉林　延吉　133000）

一堂概念課引發(fā)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)的思考

王麗媛

（延邊第二中學(xué)，吉林延吉133000）

課改實施至今，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重解題訓(xùn)練輕概念教學(xué)的現(xiàn)象仍然屢見不鮮。那么數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實際意義是什么？如何教學(xué)才能易于學(xué)生理解和應(yīng)用？怎樣在概念教學(xué)中體現(xiàn)課堂設(shè)計的有效性？本文以雙曲線概念教學(xué)為例闡述了對這些問題的認(rèn)識。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)；意義；“信息差”效應(yīng)

課改實施至今，在高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“重解題訓(xùn)練輕概念教學(xué)的現(xiàn)象仍然屢見不鮮，一批批學(xué)生在題海中掙扎，卻其實在下海之前根本沒有學(xué)會如何游泳，所以很多學(xué)生感覺困惑，或是被淹到嗆到，導(dǎo)致對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去信心。

那么數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實際意義是什么？如何教學(xué)才能易于學(xué)生理解和應(yīng)用？怎樣在概念教學(xué)中體現(xiàn)課堂設(shè)計的有效性？現(xiàn)以雙曲線概念教學(xué)為例談?wù)剬ι鲜鰡栴}的認(rèn)識。

一、高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實際意義

課改后的高中數(shù)學(xué)教材中的幾乎所有概念，都是通過實例，或是對比或是引申或是提出思考方向，引導(dǎo)學(xué)生找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后再對所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行刻畫與修正，最后用簡練客觀的數(shù)學(xué)語言定義并用符號語言表示，對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)就是對概念的內(nèi)涵和外延的教學(xué)。任何一個概念都有其內(nèi)涵與外延，這是概念的基本特征。我們把某一概念反映的所有對象的共同本質(zhì)屬性的總和叫做這個概念的內(nèi)涵，把適合于這個概念的所有對象的范圍稱為這個概念的外延。

學(xué)生以已有認(rèn)知為基礎(chǔ)，在新舊知識的碰撞中，體會新舊概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，有助于學(xué)生對高中教材的整體把握。在一些數(shù)學(xué)課堂，教師由于時間限制，對概念一言帶過，急于進(jìn)行習(xí)題訓(xùn)練，想通過這個方式使學(xué)生的解題能力迅速提高。但事實上，由于學(xué)生沒有對概念的本質(zhì)和外延有足夠的理解、把握，習(xí)題和變式的引入生硬牽強(qiáng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)囫圇吞棗，難以建立知識網(wǎng)絡(luò)，反而增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。同時，新課標(biāo)下的高考要求，不再是對單一知識點的無限制的深入挖掘，而多是考查知識的綜合運用，這就更需要學(xué)生牢固把握知識的內(nèi)涵與聯(lián)系。以雙曲線的概念為例，它與橢圓的概念在本質(zhì)上是一致的，即都是反映平面內(nèi)到定點的距離與定長大小關(guān)系的曲線，抓住這一本質(zhì)，學(xué)生在探索雙曲線時就可以對比橢圓學(xué)習(xí)，無論是建立標(biāo)準(zhǔn)方程、挖掘曲線性質(zhì)，還是尋求解題思路，都可以以橢圓為基礎(chǔ)探索學(xué)習(xí)。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，直接學(xué)習(xí)晦澀難懂，需要逐步深入學(xué)習(xí)（如三角函數(shù)的概念），或是通過特例對比學(xué)習(xí)（如圓錐曲線、數(shù)列、基本初等函數(shù)等），所以重視挖掘概念的內(nèi)涵與外延，正是應(yīng)了“磨刀不誤砍柴工”，不但不會耽誤習(xí)題的講解，相反會使習(xí)題的理解與掌握水到渠成。

二.雙曲線概念教學(xué)初探

在概念課教學(xué)中，既要把握其內(nèi)涵，這是掌握概念的基礎(chǔ)；又要了解其外延，有助于了解適合這個概念的所有對象范圍；同時，對概念中的約束條件的引出要順理成章，以理解為目的，而不是機(jī)械記憶。

以雙曲線概念教學(xué)為例，筆者設(shè)計如下教學(xué)流程：

復(fù)習(xí)橢圓概念

橢圓和雙曲線都是圓錐曲線，其概念在本質(zhì)上是一致的，所以從已有知識入手，遷移橢圓的定義，引出對“差”的思考，便于接下來雙曲線與橢圓的對比學(xué)習(xí)。

做拉鏈試驗

雙曲線的幾何圖形對學(xué)生而言是陌生的，而且雙曲線定義屬于構(gòu)造式定義，即通過概念本身發(fā)生、形成過程的描述來給出的，針對上述特點，由學(xué)生親手畫出雙曲線是十分必要的，所以組織學(xué)生分組做拉鏈實驗，在雙曲線概念的形成過程中認(rèn)識雙曲線。蘇霍姆林斯基認(rèn)為，在人們的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，那就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者，研究者。而教師完全可以通過課前設(shè)計，幫助學(xué)生成為每一個概念的發(fā)現(xiàn)者和研究者，培養(yǎng)勇于探索的品質(zhì)與能力。

有效設(shè)計問題，確保信息差效應(yīng)

面對陌生的幾何圖形與陌生的拉鏈試驗，學(xué)生茫然沒有抓手，即便勉強(qiáng)畫出曲線，也無法將定義尤其是定義中的約束條件闡明，導(dǎo)致本節(jié)課至此都是無效的。所以，教師適當(dāng)?shù)膯栴}引領(lǐng)，和體現(xiàn)“信息差”效應(yīng)的問題設(shè)計，顯得尤為重要。

本節(jié)課，筆者設(shè)計的問題是：（M點代表拉鎖頭，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別代表紙板上的兩個定點）

（1）畫出當(dāng)|MF1|＞|MF2|時的軌跡，它滿足的幾何條件是什么？當(dāng)|MF1|＜|MF2|呢？|MF1|=|MF2|呢？

（2）請你比量一下兩定點間的距離與截下那段拉鎖長度，它們有怎樣的大小關(guān)系？若改變這種大小關(guān)系，軌跡會發(fā)生怎樣的變化？

帶著這兩個問題，學(xué)生邊做實驗邊思考，教師對學(xué)生的發(fā)散活動進(jìn)行調(diào)控，又不過多干涉阻礙，師生之間通過這種方式交換信息，確保“信息差”效應(yīng)，體現(xiàn)以人為本的教學(xué)理念，也促使學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。在這部分的設(shè)計中，教師的問題與學(xué)生的動手實驗就像伴侶一樣，互相配合，才可以實現(xiàn)有效教學(xué)。

內(nèi)化概念，找平認(rèn)知差異

學(xué)生將實際操作上升為數(shù)學(xué)語言，即形成定義后，其實并沒有完成概念教學(xué)。由于不同學(xué)生的認(rèn)知差異等因素，教師還要設(shè)計一個對新概念去粗取精、由表及里的深入環(huán)節(jié)，使學(xué)生由感性認(rèn)識上升為理性的辨證認(rèn)識。

在本節(jié)課，筆者設(shè)計了利用代數(shù)表達(dá)式的幾何意義對雙曲線概念的辨析問題：

判斷下列方程是否表示雙曲線

通過判斷，可以初步培養(yǎng)運用概念作簡單辨別的能力，并且對定義中的限制條件強(qiáng)化理解，將抽象的數(shù)學(xué)概念與實際問題互相補(bǔ)充理解，拉平學(xué)生由于認(rèn)知水平產(chǎn)生的差異，為概念教學(xué)“固色”。

波利亞指出“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”。要想改變多少年形成的學(xué)生對數(shù)學(xué)的畏難情緒或覺得無用的想法，作為前沿問題的數(shù)學(xué)概念教學(xué)就必須引起我們一線教師的足夠重視，這不只是理論問題，更應(yīng)該從實踐中發(fā)現(xiàn)整理。

［1］王宜飛.淺析概念的內(nèi)涵和外延［J］.時代報告:學(xué)術(shù)版，2013，（3x）.

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2014—12—20