齊艷秋

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)一部分，為生產(chǎn)、生活及學(xué)術(shù)研究提供了方便快捷的途徑。高中階段導(dǎo)數(shù)要求較低，部分易錯(cuò)點(diǎn)未作特殊強(qiáng)調(diào)說明；例題簡(jiǎn)單，如果不做深入細(xì)致研究，膚淺認(rèn)識(shí)與想當(dāng)然的局限會(huì)對(duì)某些問題產(chǎn)生錯(cuò)覺與誤解。

曲線的切線問題，是研究曲線性質(zhì)的重要方面，也是高考?？純?nèi)容。一部分人對(duì)曲線切線的內(nèi)涵與性質(zhì)往往把握不夠準(zhǔn)確，對(duì)解決這類問題的方法不明晰，從而對(duì)該問題產(chǎn)生感官和求解方法論的錯(cuò)誤。

一、混淆“在一點(diǎn)處的切線”與“過一點(diǎn)的切線”

“在一點(diǎn)處的切線”是指以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線，該點(diǎn)一定在曲線上，切線只有一條。直接由在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值確定切線斜率，進(jìn)而求出此切線方程。而“過一點(diǎn)的切線”，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)。只有確定了切點(diǎn)，才能利用導(dǎo)數(shù)法求斜率，再求切線方程，切線可能不唯一。

二、求過一點(diǎn)的曲線切線在方法論上的錯(cuò)誤

這個(gè)問題的錯(cuò)誤最為嚴(yán)重。人民大學(xué)主辦的《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2010年第1期，《關(guān)于曲線的切線問題的探索》一文，筆者認(rèn)為“已知一點(diǎn)，求過該點(diǎn)的曲線切線時(shí)，先判斷這個(gè)點(diǎn)是否在曲線上：若不在曲線上，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)；若在曲線上，就直接用導(dǎo)數(shù)法求出該點(diǎn)的切線斜率。”并以兩道例題及變式為例加以說明。在多年教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)部分教師、各類習(xí)題材料，犯此錯(cuò)誤比比皆是。事實(shí)上即使給定的點(diǎn)在曲線上，該點(diǎn)也不一定是切點(diǎn)，要分該點(diǎn)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解。舉個(gè)典型例子，來說明其錯(cuò)誤。

求曲線y= x3過點(diǎn)P（1，1）的切線方程。P點(diǎn)在曲線上，要分類討論。當(dāng)P是切點(diǎn)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)法得切線斜率k=y′│x=1=3x2│x=1=3 ，切線方程為y-1=3（x-1）即3x-y-2=0；當(dāng)P不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為A（x0，x03）（x0 1），則切線斜率k=3 x02。又P點(diǎn)和A點(diǎn)都在切線上， k= 。所以3 x02= 解得x0=- （x0=1舍）。此時(shí) k= ，切線方程為y-1= （x-1）即3x-4y+1=0。綜上，所求切線方程為：3x-y-2=0或3x-4y+1=0。由此看出，雖然P點(diǎn)在曲線y= x3上，但過P點(diǎn)的切線不一定是以P為切點(diǎn)。若按照教材和上論文方法論進(jìn)行求解，會(huì)丟失第二組解?？梢?，沒有一定的數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)，又不進(jìn)行深入細(xì)微的教學(xué)研究，狹義片面的認(rèn)識(shí)會(huì)造成想當(dāng)然的錯(cuò)誤。

我覺得，此類錯(cuò)誤如此廣泛的普遍存在，與教材說明的簡(jiǎn)淺及配備例題的誤導(dǎo)有直接關(guān)系。人教B版教材選修2—2第1. 1.3節(jié)中，例1：求拋物線y= x2過點(diǎn)（1，1）的切線的斜率；例2：求雙曲線y= 過點(diǎn)（2， ）的切線方程。由于給定點(diǎn)都在曲線上，教材直接把已知點(diǎn)當(dāng)成切點(diǎn)來求解，解題過程不夠完備。但由于兩例題給定的曲線是二次曲線，而過二次曲線上一點(diǎn)作切線有且只有一條，所以教材所得到的最終結(jié)果卻是正確的，并無丟解現(xiàn)象。但“過二次曲線上一點(diǎn)只有一條切線”這一論點(diǎn)，教材并沒有進(jìn)行論證。所以看似正確的答案卻有一個(gè)不完整的過程。我認(rèn)為教材的解題過程有待完備：要么證明上論題，要么進(jìn)行分類討論 （不是切點(diǎn)時(shí)無解） 。教材例題，無疑給部分學(xué)者造成錯(cuò)覺，遇到復(fù)雜曲線的切線，可能會(huì)犯丟失解的錯(cuò)誤。當(dāng)然求二次曲線的切線，還可以利用解析法求解，在此不作以說明。

三、曲線切線在“形態(tài)”上易產(chǎn)生的錯(cuò)覺

學(xué)過圓錐曲線與直線關(guān)系，學(xué)生對(duì)曲線的切線有了初步了解與感受。從圖形直觀上看，曲線在一點(diǎn)處的切線與曲線呈現(xiàn)“相切”狀態(tài)。而面對(duì)諸如y= x3在（0，0）處的切線等問題時(shí)往往感覺不理解。按照導(dǎo)數(shù)法求出切線斜率為y′│x=0=3x2│x=0=0，切線方程為y=0，即x軸。從圖像上看（圖1），所求切線穿過曲線，在感官上似相交狀態(tài)。這種錯(cuò)覺，有人會(huì)懷疑其求法及結(jié)果。而從曲線切線的定義想該問題，便容易理解并找到此切線。 “曲線在一點(diǎn)處的切線”定義：“設(shè)y=f（x），AB是過點(diǎn)A（ x0 ，f（x0））與B（x0+△x，f（x0+△x））的一條割線，當(dāng)點(diǎn)B沿曲線趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的最終位置為直線AD時(shí)，直線AD叫做此曲線在點(diǎn)A的切線。”y= x3的割線OA，當(dāng)A趨向O點(diǎn)時(shí)，OA的最終位置為x軸，所以x軸就是曲線在（0，0）處的切線，與上導(dǎo)數(shù)法求解的結(jié)果是一致的。另外，冪函數(shù)y= x1/3在（0，0）處的切線，導(dǎo)數(shù)在x=0處無意義，有人會(huì)認(rèn)為切線不存在。而事實(shí)上，此時(shí)切線無斜率，方程為x=0，即y軸。利用上定義，不難得出（圖2）。

由上述例子可見，曲線在一點(diǎn)處的切線，可以在該切點(diǎn)處“穿過”曲線，呈現(xiàn)“相交”形態(tài)。學(xué)生要突破以往切線與曲線“相切”的觀念，將視角拓展到新的層面上來。而教師也不應(yīng)把教學(xué)局限在教材范圍內(nèi)，要將此類問題的盲點(diǎn)與誤區(qū)呈現(xiàn)給學(xué)生，以免造成學(xué)生在觀念上的錯(cuò)覺與誤解。還有y= x3過（1，1）點(diǎn)的切線、正余弦曲線等復(fù)雜曲線的切線，既可以穿過曲線，又可以與曲線有多個(gè)交點(diǎn)。此類問題2007年湖南高考題中曾出現(xiàn)過。

作為教師，不能為了考試而教學(xué)，要讓學(xué)生多見識(shí)些，多體會(huì)些，真正做到活學(xué)活用。愿此文能給一部分學(xué)者以啟示，不要再將以上錯(cuò)誤帶給學(xué)生。讓“導(dǎo)數(shù)”成為我們解決各類問題的利劍，讓數(shù)學(xué)真正走進(jìn)我們的生活。