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        圓的切線證明技巧

        2015-06-11 15:21:57張挺雄
        新課程學習·中 2015年4期
        關鍵詞:平分圓心口訣

        張挺雄

        圓的切線是九年級數學中的一個重要內容,是在中考中??嫉囊粋€知識點。而相當一部分學生在證明一條直線是圓的切線時,有的無從下手,有的證明過程不完整。下面就圓的切線證明歸納總結如下:

        一、掌握切線的判定方法,理解切線的概念與特征

        1.根據定義,即和圓只有一個公共點的直線是圓的切線。

        2.到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。

        3.切線的判定定理:經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

        理解上面的概念,必須抓住兩點:①直線經過半徑的外端;②直線垂直于這條半徑。這兩個條件缺一不可。

        二、如何證明一條直線是圓的切線,一般會出現以下幾種情況

        1.要證明是圓的切線的直線與圓有公共點,且存在連接公共點的半徑,此時可直接根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明,口訣是“見半徑,證垂直”。

        例1:如圖1,已知AB是⊙O的直徑,點C、D在⊙O上,點E在⊙O外,∠EAC=∠B=60°,求證:AE是⊙O的切線。

        證明:∵AB是⊙O的直徑

        ∴∠ACB=90°

        ∵∠B=60°,∴∠BAC=30°

        ∴∠EAC=60°,

        ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°

        ∵BA⊥AE垂足為A

        ∴AE是⊙O的切線

        2.給出了直線與圓的公共點,但未給出過這點的半徑,則要連接公共點和圓心,然后根據“經過半徑外端且垂直這條半徑的直線是圓的切線”這個定理進行證明,口訣是“連半徑,證垂直”。

        例2:如圖2,已知AB為⊙O的直徑,過點B作⊙O的切線BC,連OC,弦AD//OC,求證CD是⊙O的切線。

        證明:連OD

        ∵OC//AD,

        ∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC

        ∵OA=OD,

        ∴∠DAO=∠ADO,

        ∴∠COB=∠DOC

        又∵OB=OD,OC=OC

        ∴△OBC≌△ODC,

        ∴∠OBC=∠ODC

        ∵BC是⊙O的切線,∴∠OBC=90°

        ∵∠ODC=90°,∴DC是⊙O的切線。

        3.當直線與圓的公共點不明確時,過圓心作該直線的垂線,然后根據“直線與圓相切的定義”去證明,口訣是“作垂直,證相等”。

        例3:如圖3,已知OC平分∠AOB,點D是OC上任意一點,⊙D與OA相切于點E,求證:OB與⊙D相切。

        證明:連DE,作DF⊥OB,垂足為F。

        ∵⊙D與OA相切于點E

        ∴DE是⊙D的半徑,且DE⊥OA

        ∵OC平分∠AOB,DO在OC上,且DF⊥OB,DE⊥OA

        ∴DF=DE

        ∵DF是⊙D的半徑

        ∴OB與⊙D相切

        編輯 謝尾合

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