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        例析用導(dǎo)數(shù)求切線方程的幾種類(lèi)型

        2018-05-09 06:02:51馬涵坤
        數(shù)理化解題研究 2018年4期
        關(guān)鍵詞:切點(diǎn)過(guò)點(diǎn)切線

        馬涵坤

        (河北省衡水第一中學(xué) 053000)

        用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程的方法為:設(shè)P(x0,y0)是曲線y=f(x)上的一點(diǎn),則以P為切點(diǎn)的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0).當(dāng)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí),由切線定義知,切線方程為x=x0.下面例析幾種常見(jiàn)的類(lèi)型及解法.

        類(lèi)型一:已知切點(diǎn),求曲線的切線方程

        題目中點(diǎn)明切點(diǎn),只需求出切線的斜率,并代入點(diǎn)斜式方程即可.

        A.x-y-2=0 B.x+y-2=0

        C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=0

        分析求出導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程.

        可得在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為-1.

        則所求切線的方程為y-1=-(x-1),

        即為x+y-2=0.

        故選B.

        點(diǎn)評(píng)正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是求切線方程的關(guān)鍵.

        類(lèi)型二:已知斜率,求曲線的切線方程

        題目中未明確切點(diǎn),需要利用題中條件求出切點(diǎn),再確定切線的斜率,最后用點(diǎn)斜式方程加以求解.

        例2 與直線2x-y+4=0平行的拋物線y=x2的切線方程是____.

        分析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率,建立等式,求出x的值,從而求出切點(diǎn)坐標(biāo),最后將切線方程寫(xiě)出一般式即可.

        由此得到切點(diǎn)(1,1).

        故切線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.

        點(diǎn)評(píng)本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程,同時(shí)考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.另外此題所給的曲線是拋物線,故也可利用Δ法加以解決.

        類(lèi)型三:已知過(guò)曲線上一點(diǎn),求切線方程

        題目中給出了曲線上的任一點(diǎn),但該點(diǎn)未必是切點(diǎn),故要先求出切點(diǎn),再利用斜率,就可求出切線的方程了.

        例3 求過(guò)曲線y=x3-2x上的點(diǎn)(1,-1)的切線方程.

        分析求導(dǎo)數(shù),設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.

        解設(shè)P(x0,y0)為切點(diǎn),

        所以切線方程為:y-y0=(3x02-2)(x-x0),

        即y-(x03-2x0)=(3x02-2)(x-x0).

        又知切線過(guò)點(diǎn)(1,-1),

        將其代入上述方程,得

        類(lèi)型四:已知過(guò)曲線外一點(diǎn),求切線方程

        當(dāng)給出的已知點(diǎn)不在曲線上時(shí),需要先求出切點(diǎn),再用待定切點(diǎn)法來(lái)求解.

        分析設(shè)出切點(diǎn)(m,n),求得導(dǎo)數(shù),可得切線的斜率,由點(diǎn)斜式表示出切線方程,代入已知點(diǎn),就可求出切點(diǎn),從而求出切線方程.

        解設(shè)P(x0,y0)為切點(diǎn),

        又已知切線過(guò)點(diǎn)(2,0),

        點(diǎn)評(píng)點(diǎn)(2,0)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn),但在解題過(guò)程中卻無(wú)需判斷它的確切位置,只需區(qū)分“過(guò)點(diǎn)”與“在點(diǎn)”即可,這充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性.

        通過(guò)以上分析,希望同學(xué)們能夠掌握利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的各種類(lèi)型.在不同的條件下,利用不同的思路完美地解決問(wèn)題.

        參考文獻(xiàn):

        [1]桑觀賞.用導(dǎo)數(shù)求切線方程的四種類(lèi)型[J].中學(xué)生數(shù)理化(高二版), 2012(Z1).

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