對數平均不等式的六種新穎證明及其應用
2023-08-05 01:17:20四川省溫江中學611130
中學數學研究(廣東) 2023年11期
四川省溫江中學(611130) 張 君
1. 對數平均不等式
2. 六種新穎證明
如圖1 所示, 容易驗證直線y=x是曲線y= shx與曲線y= thx在x= 0處公共切線, 以及當x∈(0,+∞) 時,y= shx為凸函數(因y′′= shx＞0),所以曲線y= shx在其切線y=x上方,即x＜shx(x＞0).y= thx為凹函數(因), 所以曲線y= thx在其切線y=x下方,即thx＜x(x＞0). 故(7)式得證.
圖1
評析根據函數的凹凸性,利用曲線與切線的位置關系證明不等式,這是切線法證明不等式的思路.
3. 在2022 年高考題中的應用
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