山東省壽光市教育科學研究中心(262700) 張明同 李佩龍

山東省壽光二中(262700) 劉海云

均值換元法是指借助于幾個值的平均值進行換元的方法,如若a1+a2+...+an=m(n∈N,n≥2),則可設

其中λ1+λ2+...+λn= 0,這就是均值換元. 應用均值換元法解題,可以降低解題難度,簡化解題過程,達到事半功倍的效果. 本文對均值換元法解題進行研究,希望能為讀者提高解題能力提供幫助.

1. 均值換元法解題的切入點研究

利用均值換元法解題的關鍵是找到類似a+b=m的信息,然后進行均值換元,從哪里尋找可以進行均值換元的核心信息? 可以從以下三個方面考慮.

1.1 從題設中尋找有效信息

1.2 從未知結(jié)論中尋找有效信息

1.3 從題目挖掘隱含的有效信息

例3若函數(shù)f(x) = sin(x+φ)+cosx的最大值為2,則常數(shù)φ的一個值為____.

點評題目涉及兩個角x+φ,x,利用這兩個角的均值進行換元,使問題解答更輕松. 當題目中不存在類似a+b=m這樣直接使用可進行均值換元的條件時,可以主動對條件進行分析和挖掘,尋找使用均值換元的條件,擇機使用均值換元.

2. 均值換元法解題的題型研究

應用均值換元法解題的關鍵是要從題設及所求解題目的結(jié)構(gòu)特征入手,挖掘出問題中隱藏的均值關系,從而使用均值換元法達到輕松解題的目的[1]. 均值換元法的應用非常廣泛,下面進行舉例分析.

2.1 證明等式

2.2 證明不等式

點評對題目中的信息進行變形,創(chuàng)造使用均值換元的條件,揭示量與量之間的不等關系的本質(zhì),可以達到使用均值換元的目的.

2.3 求范圍(最值)

例6已知x,y∈ [0,+∞),2x+y= 6, 求z=4x2+3xy+y2-6x-3y的最值.

點評如果采用一般的思維方式,解題過程會相當繁雜,采用均值換元后,問題輕松解決,顯示出均值換元的實力.

2.4 求值

2.5 解方程

例8 在實數(shù)范圍內(nèi)解方程(x+2)4=82-(x+4)4.

解設, 則x+ 2 =t-1,x+4=t+1,原方程變?yōu)?t-1)4+(t+1)4=82,展開并整理得,t4+6t2-40 = 0,解得t2= 4 或t2= -10(舍去負值),所以x1=-1,x2=-5.

點評如果將原方程直接展開會相當繁瑣,經(jīng)過均值換元后方程變?yōu)?t-1)2+(t+1)2= 82,變形后的方程展開后會有很多項相互抵消,簡化了運算過程,顯現(xiàn)出均值換元的優(yōu)勢.

從以上幾個例題可以看出,“均值換元”的確是求解數(shù)學問題的一種非常有效的手段, 其本質(zhì)原因是它變更了命題,而新命題更便于求解[2].