遼寧省錦州市太和區(qū)高級(jí)中學(xué) 齊艷秋

導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)一部分，為生產(chǎn)、生活及學(xué)術(shù)研究提供了方便快捷的途徑。高中階段導(dǎo)數(shù)要求較低，部分易錯(cuò)點(diǎn)未作特殊強(qiáng)調(diào)說(shuō)明；例題簡(jiǎn)單，如果不做深入細(xì)致研究，膚淺認(rèn)識(shí)與想當(dāng)然的局限會(huì)對(duì)某些問(wèn)題產(chǎn)生錯(cuò)覺(jué)與誤解。

曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題，是研究曲線(xiàn)性質(zhì)的重要方面，也是高考?？純?nèi)容。一部分人對(duì)曲線(xiàn)切線(xiàn)的內(nèi)涵與性質(zhì)往往把握不夠準(zhǔn)確，對(duì)解決這類(lèi)問(wèn)題的方法不明晰，從而對(duì)該問(wèn)題產(chǎn)生感官和求解方法論的錯(cuò)誤。

一、混淆“在一點(diǎn)處的切線(xiàn)”與“過(guò)一點(diǎn)的切線(xiàn)”

“在一點(diǎn)處的切線(xiàn)”是指以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線(xiàn)，該點(diǎn)一定在曲線(xiàn)上，切線(xiàn)只有一條。直接由在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值確定切線(xiàn)斜率，進(jìn)而求出此切線(xiàn)方程。而“過(guò)一點(diǎn)的切線(xiàn)”，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)。只有確定了切點(diǎn)，才能利用導(dǎo)數(shù)法求斜率，再求切線(xiàn)方程，切線(xiàn)可能不唯一。

二、求過(guò)一點(diǎn)的曲線(xiàn)切線(xiàn)在方法論上的錯(cuò)誤

這個(gè)問(wèn)題的錯(cuò)誤最為嚴(yán)重。人民大學(xué)主辦的《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2010年第1期，《關(guān)于曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題的探索》一文，筆者認(rèn)為“已知一點(diǎn)，求過(guò)該點(diǎn)的曲線(xiàn)切線(xiàn)時(shí)，先判斷這個(gè)點(diǎn)是否在曲線(xiàn)上：若不在曲線(xiàn)上，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)；若在曲線(xiàn)上，就直接用導(dǎo)數(shù)法求出該點(diǎn)的切線(xiàn)斜率。”并以?xún)傻览}及變式為例加以說(shuō)明。在多年教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)部分教師、各類(lèi)習(xí)題材料，犯此錯(cuò)誤比比皆是。事實(shí)上即使給定的點(diǎn)在曲線(xiàn)上，該點(diǎn)也不一定是切點(diǎn)，要分該點(diǎn)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解。舉個(gè)典型例子，來(lái)說(shuō)明其錯(cuò)誤。

求曲線(xiàn)y=x3過(guò)點(diǎn)P（1，1）的切線(xiàn)方程。P點(diǎn)在曲線(xiàn)上，要分類(lèi)討論。當(dāng)P是切點(diǎn)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)法得切線(xiàn)斜率k=y′│x=1=3x2│x=1=3，切線(xiàn)方程為y-1=3（x-1）即3x-y-2=0；當(dāng)P不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為A（x0，x03）（x0≠1），則切線(xiàn)斜率又P點(diǎn)和A點(diǎn)都在切線(xiàn)上，所以解得此時(shí)切線(xiàn)方程為即3x-4y+1=0。綜上，所求切線(xiàn)方程為：3x-y-2=0或3x-4y+1=0。由此看出，雖然P點(diǎn)在曲線(xiàn)y=x3上，但過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)不一定是以P為切點(diǎn)。若按照教材和上論文方法論進(jìn)行求解，會(huì)丟失第二組解?？梢?jiàn)，沒(méi)有一定的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，又不進(jìn)行深入細(xì)微的教學(xué)研究，狹義片面的認(rèn)識(shí)會(huì)造成想當(dāng)然的錯(cuò)誤。

我覺(jué)得，此類(lèi)錯(cuò)誤如此廣泛的普遍存在，與教材說(shuō)明的簡(jiǎn)淺及配備例題的誤導(dǎo)有直接關(guān)系。人教B版教材選修2—2第1. 1.3節(jié)中，例1：求拋物線(xiàn)y=x2過(guò)點(diǎn)（1，1）的切線(xiàn)的斜率；例2：求雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程。由于給定點(diǎn)都在曲線(xiàn)上，教材直接把已知點(diǎn)當(dāng)成切點(diǎn)來(lái)求解，解題過(guò)程不夠完備。但由于兩例題給定的曲線(xiàn)是二次曲線(xiàn)，而過(guò)二次曲線(xiàn)上一點(diǎn)作切線(xiàn)有且只有一條，所以教材所得到的最終結(jié)果卻是正確的，并無(wú)丟解現(xiàn)象。但“過(guò)二次曲線(xiàn)上一點(diǎn)只有一條切線(xiàn)”這一論點(diǎn)，教材并沒(méi)有進(jìn)行論證。所以看似正確的答案卻有一個(gè)不完整的過(guò)程。我認(rèn)為教材的解題過(guò)程有待完備：要么證明上論題，要么進(jìn)行分類(lèi)討論 (不是切點(diǎn)時(shí)無(wú)解)。教材例題，無(wú)疑給部分學(xué)者造成錯(cuò)覺(jué)，遇到復(fù)雜曲線(xiàn)的切線(xiàn)，可能會(huì)犯丟失解的錯(cuò)誤。當(dāng)然求二次曲線(xiàn)的切線(xiàn)，還可以利用解析法求解，在此不作以說(shuō)明。

三、曲線(xiàn)切線(xiàn)在“形態(tài)”上易產(chǎn)生的錯(cuò)覺(jué)

學(xué)過(guò)圓錐曲線(xiàn)與直線(xiàn)關(guān)系，學(xué)生對(duì)曲線(xiàn)的切線(xiàn)有了初步了解與感受。從圖形直觀(guān)上看，曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)呈現(xiàn)“相切”狀態(tài)。而面對(duì)諸如y=x3在（0,0）處的切線(xiàn)等問(wèn)題時(shí)往往感覺(jué)不理解。按照導(dǎo)數(shù)法求出切線(xiàn)斜率為y′│x=0=3x2│x=0=0，切線(xiàn)方程為y=0，即x軸。從圖像上看（圖1），所求切線(xiàn)穿過(guò)曲線(xiàn)，在感官上似相交狀態(tài)。這種錯(cuò)覺(jué)，有人會(huì)懷疑其求法及結(jié)果。而從曲線(xiàn)切線(xiàn)的定義想該問(wèn)題，便容易理解并找到此切線(xiàn)?！扒€(xiàn)在一點(diǎn)處的切線(xiàn)”定義：“設(shè)y=f(x)，AB是過(guò)點(diǎn)A（x0，f(x0)）與B（x0+△x，f(x0+△x)）的一條割線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)B沿曲線(xiàn)趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線(xiàn)AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的最終位置為直線(xiàn)AD時(shí)，直線(xiàn)AD叫做此曲線(xiàn)在點(diǎn)A的切線(xiàn)?！眣=x3的割線(xiàn)OA，當(dāng)A趨向O點(diǎn)時(shí)，OA的最終位置為x軸，所以x軸就是曲線(xiàn)在（0，0）處的切線(xiàn)，與上導(dǎo)數(shù)法求解的結(jié)果是一致的。另外，冪函數(shù)y=x1/3在（0，0）處的切線(xiàn)，導(dǎo)數(shù)在x=0處無(wú)意義，有人會(huì)認(rèn)為切線(xiàn)不存在。而事實(shí)上，此時(shí)切線(xiàn)無(wú)斜率，方程為x＝0，即y軸。利用上定義，不難得出（圖2）。

由上述例子可見(jiàn)，曲線(xiàn)在一點(diǎn)處的切線(xiàn)，可以在該切點(diǎn)處“穿過(guò)”曲線(xiàn)，呈現(xiàn)“相交”形態(tài)。學(xué)生要突破以往切線(xiàn)與曲線(xiàn)“相切”的觀(guān)念，將視角拓展到新的層面上來(lái)。而教師也不應(yīng)把教學(xué)局限在教材范圍內(nèi)，要將此類(lèi)問(wèn)題的盲點(diǎn)與誤區(qū)呈現(xiàn)給學(xué)生，以免造成學(xué)生在觀(guān)念上的錯(cuò)覺(jué)與誤解。還有y=x3過(guò)（1,1）點(diǎn)的切線(xiàn)、正余弦曲線(xiàn)等復(fù)雜曲線(xiàn)的切線(xiàn)，既可以穿過(guò)曲線(xiàn)，又可以與曲線(xiàn)有多個(gè)交點(diǎn)。此類(lèi)問(wèn)題2007年湖南高考題中曾出現(xiàn)過(guò)。

作為教師，不能為了考試而教學(xué)，要讓學(xué)生多見(jiàn)識(shí)些，多體會(huì)些，真正做到活學(xué)活用。愿此文能給一部分學(xué)者以啟示，不要再將以上錯(cuò)誤帶給學(xué)生。讓“導(dǎo)數(shù)”成為我們解決各類(lèi)問(wèn)題的利劍，讓數(shù)學(xué)真正走進(jìn)我們的生活。