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(湖州市第二中學(xué) 浙江湖州 313000)
兩圓無交點(diǎn),圓系為何意
——記一次對虛圓系的探究過程
●劉薇陸麗濱
(湖州市第二中學(xué) 浙江湖州 313000)
在課堂上講解兩圓相交等知識時,筆者出示了人教A版數(shù)學(xué)必修2習(xí)題A組第10題:
求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn),并且圓心在直線上的圓方程.
這是一道典型的運(yùn)用圓系思想、避免解交點(diǎn)的圓系問題.下面是筆者在課堂上講解課本例題的部分過程:
教師:……同學(xué)們知道,只要令
x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0,
可得
(1+λ)x2+6x+(1+λ)y2+6λy-4-28λ=0,
(1)
x2+y2-x+7y-32=0.
……
學(xué)生:比起剛剛我自己求交點(diǎn)的算法,這種方法簡單多了!
教師:因此,利用圓系理論求解涉及兩曲線交點(diǎn)的問題,常??梢员荛_繁雜的運(yùn)算,并使解題的思路變得流暢、清晰和自然.
正以為問題解決之際,有學(xué)生剛下課就問了筆者一個難以回答的問題!
學(xué)生:老師,如果兩圓無交點(diǎn),那么圓系還有沒有用?
教師:兩圓相交、相切均有用,相離沒用.
學(xué)生:老師,這就奇怪了,我剛剛自己演算了一個問題,兩圓是無交點(diǎn)的,但是圓系還是可以解出這樣一個圓方程,這是為什么?
筆者仔細(xì)查看了學(xué)生演算的那道題目:兩圓方程C1:x2+y2=1,C2:(x-4)2+y2=1,求經(jīng)過兩圓交點(diǎn),并經(jīng)過點(diǎn)(0,0)的圓方程.
學(xué)生解法:令所求圓方程為
x2+y2-8x+15+λ(x2+y2-1)=0,
(2)
代入點(diǎn)(0,0),可得λ=15.代入式(2),解得圓方程為
即
學(xué)生:可是,我畫圖時發(fā)現(xiàn)2個圓是沒有交點(diǎn)的!而且我還解了方程組
解得x=2,y2=-3,無意義??!那我剛剛計(jì)算出來的到底是什么呢?
聽到此處,筆者大驚!這是筆者以前從來沒有探究過的問題!為此,筆者和學(xué)生一起做了探究.
筆者冥思苦想,一直毫無頭緒.為何沒有交點(diǎn)的圓系方程也能求之,難道就是增根這么簡單?筆者還查詢了諸多資料,也沒有任何資料顯示到底原因?yàn)楹?,只是敘述此種情況為不合而已!
正在懸疑之際,學(xué)生的一句話提醒了筆者,“老師,你看方程的解y2=-3,好像復(fù)數(shù)中的虛根!”是?。∥以趺淳蜎]有想到?虛根——不正好對應(yīng)同頂點(diǎn)的雙曲線的解嗎?
于是,筆者與學(xué)生一起將原來的兩圓方程C1:x2+y2=1,C2:(x-4)2+y2=1改寫成2個雙曲線方程C1′:x2-y2=1,C2′:(x-4)2-y2=1.聯(lián)立雙曲線方程
解得
x=2,y2=3.
x2-y2-8x+15+λ(x2-y2-1)=0,
(3)
代入點(diǎn)(0,0),可得λ=15.代入式(3),解得雙曲線為
即
如圖1所示,經(jīng)檢驗(yàn)結(jié)論正確.
圖1
最終,我們對比求出的圓系方程和雙曲線方程,發(fā)現(xiàn)竟然也是如此的統(tǒng)一!因此,可以說盡管兩圓無交點(diǎn),但是與其相對應(yīng)的雙曲線卻呈現(xiàn)出了這一切!因此,筆者總結(jié)得到以下定理:
若兩圓內(nèi)含呢?請看繼續(xù)探究:兩圓方程C3:x2+y2=16,C4:(x-1)2+y2=1(內(nèi)含),求過兩圓交點(diǎn)(虛)且過點(diǎn)(-1,0)的圓方程.
現(xiàn)將圓方程改成相對應(yīng)的雙曲線方程:
令過上述2個點(diǎn)的雙曲線系方程為
x2-y2-2x+λ(x2-y2-16)=0,
(4)
圖2
如圖2所示,經(jīng)檢驗(yàn)結(jié)論正確.這說明當(dāng)兩圓內(nèi)含時,定理1也成立.
當(dāng)兩圓相交、相切時圓系的方程是有意義的,現(xiàn)在通過探究發(fā)現(xiàn),當(dāng)兩圓相離、內(nèi)含時,盡管圓系方程并無實(shí)際意義,但以其對應(yīng)的雙曲線系方程必過(虛)交點(diǎn)而可得,又與所得(無實(shí)際意義)的圓系恰好相對應(yīng).
筆者將上述現(xiàn)象稱為虛圓系.
在探究知識之后,盡管此現(xiàn)象并無實(shí)際意義,而且以上的探究過程也花費(fèi)了很多時間(包括課內(nèi)和課后),但從遠(yuǎn)期目標(biāo)來看:這有助于學(xué)生了解問題解決的過程,初步嘗試數(shù)學(xué)研究的過程,從而建立起嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神;有助于培養(yǎng)學(xué)生善于質(zhì)疑的習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題的能力.另外,教師還應(yīng)加強(qiáng)自身的專業(yè)素養(yǎng),不斷在教學(xué)工作中提升自己.只有不斷鉆研,才能用自己的“一桶水”澆灌給學(xué)生的“半桶水”.
通過學(xué)生的質(zhì)疑,使得筆者和學(xué)生一起弄清了兩圓無交點(diǎn),圓系為何意,增長了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)中感到困惑的問題進(jìn)行探究.這不僅是“釋疑、解惑”的需要,也是新課改倡導(dǎo)的培養(yǎng)學(xué)生探究意識和理性精神的需要.