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(安康學(xué)院數(shù)學(xué)系 陜西安康 725000)

調(diào)和點(diǎn)列的妙用

●郭銳趙臨龍

(安康學(xué)院數(shù)學(xué)系 陜西安康 725000)

1 調(diào)和點(diǎn)列的定義

它的一個(gè)特例,就是中學(xué)幾何三角形中一個(gè)角的內(nèi)角和外角平分線(xiàn)與對(duì)邊的交點(diǎn)，將三角形對(duì)邊的2個(gè)頂點(diǎn)調(diào)和分割.

引例如圖1,AB為圓O的直徑，C為直徑延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，從點(diǎn)C向圓引切線(xiàn)CP.證明:點(diǎn)P在AB上的垂直射影D及點(diǎn)C是對(duì)于點(diǎn)A,B的調(diào)和共軛點(diǎn).

證明由CP是⊙O的切線(xiàn)，得

∠1=∠PAB，∠4=∠PBA.

又AB是直徑，PD⊥AB，得

△APB∽△ADP∽△PDB，

所以 ∠2=∠PAB=∠1，∠3=∠PBA=∠4，

即PA，PB分別為△CPD內(nèi)角∠CPD和外角∠EPD的角平分線(xiàn)，于是

(AB,CD)=-1，

故點(diǎn)D是點(diǎn)C對(duì)于點(diǎn)A,B的調(diào)和共軛點(diǎn).

2 調(diào)和點(diǎn)列的作圖

由引例的證法，可得出求直線(xiàn)AB上點(diǎn)C的調(diào)和共軛點(diǎn)D的作圖方法.

如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),

(1)過(guò)點(diǎn)C作以AB為直徑的⊙O的切線(xiàn)CP切圓于點(diǎn)P;

(2)過(guò)點(diǎn)P作直徑AB的垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)D.

于是,點(diǎn)D便是點(diǎn)C對(duì)于A,B的調(diào)和共軛點(diǎn).

圖1 圖2

如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在AB內(nèi)時(shí),

(1)過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)P;

(2)過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線(xiàn)PD交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D.

于是,點(diǎn)D便是點(diǎn)C對(duì)于點(diǎn)A,B的調(diào)和共軛點(diǎn).

3 調(diào)和點(diǎn)列的應(yīng)用

例1[1]已知(AB,CD)=-1,證明:

證明因?yàn)?/p>

所以

AC·BD+AD·BC=0.

(1)

如圖1,可得

將式(2)，式(3)代入式(1),得

AC·(CD-CB)-(CA-CD)·BC=0，

化簡(jiǎn)整理得

2CA·CB=CD(CA+CB)，

即

例2[2]證明平均不等式：

圖3

證明如圖3,過(guò)圓心O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)CE.由AC=a，BC=b，得

又由CP是⊙O的切線(xiàn),得

CP2=CB·CA=ab,

即

又由CE≥OC,得

(2)在Rt△OPC中，由OC≥CP,得

(3)在Rt△CDP中，由CP≥CD,得

將過(guò)圓心的割線(xiàn)推廣為不過(guò)圓心的割線(xiàn)時(shí)，點(diǎn)D還是不是點(diǎn)C對(duì)于點(diǎn)A,B的調(diào)和共軛點(diǎn)呢？

(2001年初中CMO競(jìng)賽試題)

圖4

證明連結(jié)AM并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)N，連結(jié)BM，CN.由CP，CQ分別為⊙O的切線(xiàn)，連結(jié)OP，OQ,得P，O，Q，C這4點(diǎn)共圓.又因?yàn)镻，A，Q，N這4點(diǎn)共圓，所以

OM·MC=PM·MQ=AM·MN.

根據(jù)交弦定理的逆定理，得A，O，N，C這4點(diǎn)共圓.在圓AONC中，由OB=ON，得

∠1=∠2(等弦上的圓周角相等).

因?yàn)?/p>

∠ABO+∠OBC=180°，

∠OAB+∠ONC=180°,

又OB=OA，得∠OBA=∠OAB,從而

∠OBC=∠ONC

所以

△BOC≌△NOC，

從而

CB=CN.

于是

△BMC≌△NMC，

即

∠3=∠4.

又

∠3+∠5=90°，∠4+∠6=90°，

所以

∠5=∠6.

綜上所述,MD，MC分別為△AMB內(nèi)角∠AMB與外角∠BMN的角平分線(xiàn)，即C，D調(diào)和分割點(diǎn)A,B,從而

(此文為安康學(xué)院大學(xué)生科技創(chuàng)新項(xiàng)目(2009AKXYDXS07)；陜西普通本科高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目地方院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)人才培養(yǎng)模式創(chuàng)新研究(09BY70)部分成果.)

[1] 朱德祥，朱維宗.高等幾何[M].2版.北京:高等教育出版社，1983:61.

[2] 趙臨龍.兩正數(shù)四種平均的幾何統(tǒng)一表示及加強(qiáng)[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007(3):48-50.

[3] 李文銘，羅增儒，趙臨龍．初等幾何教學(xué)基礎(chǔ)[M].西安:陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003:164.