●
(安康學(xué)院數(shù)學(xué)系 陜西安康 725000)
調(diào)和點(diǎn)列的妙用
●郭銳趙臨龍
(安康學(xué)院數(shù)學(xué)系 陜西安康 725000)
它的一個(gè)特例,就是中學(xué)幾何三角形中一個(gè)角的內(nèi)角和外角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn),將三角形對(duì)邊的2個(gè)頂點(diǎn)調(diào)和分割.
引例如圖1,AB為圓O的直徑,C為直徑延長線上一點(diǎn),從點(diǎn)C向圓引切線CP.證明:點(diǎn)P在AB上的垂直射影D及點(diǎn)C是對(duì)于點(diǎn)A,B的調(diào)和共軛點(diǎn).
證明由CP是⊙O的切線,得
∠1=∠PAB,∠4=∠PBA.
又AB是直徑,PD⊥AB,得
△APB∽△ADP∽△PDB,
所以 ∠2=∠PAB=∠1,∠3=∠PBA=∠4,
即PA,PB分別為△CPD內(nèi)角∠CPD和外角∠EPD的角平分線,于是
(AB,CD)=-1,
故點(diǎn)D是點(diǎn)C對(duì)于點(diǎn)A,B的調(diào)和共軛點(diǎn).
由引例的證法,可得出求直線AB上點(diǎn)C的調(diào)和共軛點(diǎn)D的作圖方法.
如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長線上時(shí),
(1)過點(diǎn)C作以AB為直徑的⊙O的切線CP切圓于點(diǎn)P;
(2)過點(diǎn)P作直徑AB的垂線交AB于點(diǎn)D.
于是,點(diǎn)D便是點(diǎn)C對(duì)于A,B的調(diào)和共軛點(diǎn).
圖1 圖2
如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在AB內(nèi)時(shí),
(1)過點(diǎn)C作AB的垂線交⊙O于點(diǎn)P;
(2)過點(diǎn)P作⊙O的切線PD交AB的延長線于點(diǎn)D.
于是,點(diǎn)D便是點(diǎn)C對(duì)于點(diǎn)A,B的調(diào)和共軛點(diǎn).
例1[1]已知(AB,CD)=-1,證明:
證明因?yàn)?/p>
所以
AC·BD+AD·BC=0.
(1)
如圖1,可得
將式(2),式(3)代入式(1),得
AC·(CD-CB)-(CA-CD)·BC=0,
化簡整理得
2CA·CB=CD(CA+CB),
即
例2[2]證明平均不等式:
圖3
證明如圖3,過圓心O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E,連結(jié)CE.由AC=a,BC=b,得
又由CP是⊙O的切線,得
CP2=CB·CA=ab,
即
又由CE≥OC,得
(2)在Rt△OPC中,由OC≥CP,得
(3)在Rt△CDP中,由CP≥CD,得
將過圓心的割線推廣為不過圓心的割線時(shí),點(diǎn)D還是不是點(diǎn)C對(duì)于點(diǎn)A,B的調(diào)和共軛點(diǎn)呢?
(2001年初中CMO競賽試題)
圖4
證明連結(jié)AM并延長交⊙O于點(diǎn)N,連結(jié)BM,CN.由CP,CQ分別為⊙O的切線,連結(jié)OP,OQ,得P,O,Q,C這4點(diǎn)共圓.又因?yàn)镻,A,Q,N這4點(diǎn)共圓,所以
OM·MC=PM·MQ=AM·MN.
根據(jù)交弦定理的逆定理,得A,O,N,C這4點(diǎn)共圓.在圓AONC中,由OB=ON,得
∠1=∠2(等弦上的圓周角相等).
因?yàn)?/p>
∠ABO+∠OBC=180°,
∠OAB+∠ONC=180°,
又OB=OA,得∠OBA=∠OAB,從而
∠OBC=∠ONC
所以
△BOC≌△NOC,
從而
CB=CN.
于是
△BMC≌△NMC,
即
∠3=∠4.
又
∠3+∠5=90°,∠4+∠6=90°,
所以
∠5=∠6.
綜上所述,MD,MC分別為△AMB內(nèi)角∠AMB與外角∠BMN的角平分線,即C,D調(diào)和分割點(diǎn)A,B,從而
(此文為安康學(xué)院大學(xué)生科技創(chuàng)新項(xiàng)目(2009AKXYDXS07);陜西普通本科高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目地方院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)人才培養(yǎng)模式創(chuàng)新研究(09BY70)部分成果.)
[1] 朱德祥,朱維宗.高等幾何[M].2版.北京:高等教育出版社,1983:61.
[2] 趙臨龍.兩正數(shù)四種平均的幾何統(tǒng)一表示及加強(qiáng)[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007(3):48-50.
[3] 李文銘,羅增儒,趙臨龍.初等幾何教學(xué)基礎(chǔ)[M].西安:陜西科學(xué)技術(shù)出版社,2003:164.