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        調(diào)和點(diǎn)列的妙用

        2010-12-15 08:32:26
        關(guān)鍵詞:共圓外角安康

        (安康學(xué)院數(shù)學(xué)系 陜西安康 725000)

        調(diào)和點(diǎn)列的妙用

        ●郭銳趙臨龍

        (安康學(xué)院數(shù)學(xué)系 陜西安康 725000)

        1 調(diào)和點(diǎn)列的定義

        它的一個(gè)特例,就是中學(xué)幾何三角形中一個(gè)角的內(nèi)角和外角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn),將三角形對(duì)邊的2個(gè)頂點(diǎn)調(diào)和分割.

        引例如圖1,AB為圓O的直徑,C為直徑延長線上一點(diǎn),從點(diǎn)C向圓引切線CP.證明:點(diǎn)P在AB上的垂直射影D及點(diǎn)C是對(duì)于點(diǎn)A,B的調(diào)和共軛點(diǎn).

        證明由CP是⊙O的切線,得

        ∠1=∠PAB,∠4=∠PBA.

        又AB是直徑,PD⊥AB,得

        △APB∽△ADP∽△PDB,

        所以 ∠2=∠PAB=∠1,∠3=∠PBA=∠4,

        即PA,PB分別為△CPD內(nèi)角∠CPD和外角∠EPD的角平分線,于是

        (AB,CD)=-1,

        故點(diǎn)D是點(diǎn)C對(duì)于點(diǎn)A,B的調(diào)和共軛點(diǎn).

        2 調(diào)和點(diǎn)列的作圖

        由引例的證法,可得出求直線AB上點(diǎn)C的調(diào)和共軛點(diǎn)D的作圖方法.

        如圖1,當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長線上時(shí),

        (1)過點(diǎn)C作以AB為直徑的⊙O的切線CP切圓于點(diǎn)P;

        (2)過點(diǎn)P作直徑AB的垂線交AB于點(diǎn)D.

        于是,點(diǎn)D便是點(diǎn)C對(duì)于A,B的調(diào)和共軛點(diǎn).

        圖1 圖2

        如圖2,當(dāng)點(diǎn)C在AB內(nèi)時(shí),

        (1)過點(diǎn)C作AB的垂線交⊙O于點(diǎn)P;

        (2)過點(diǎn)P作⊙O的切線PD交AB的延長線于點(diǎn)D.

        于是,點(diǎn)D便是點(diǎn)C對(duì)于點(diǎn)A,B的調(diào)和共軛點(diǎn).

        3 調(diào)和點(diǎn)列的應(yīng)用

        例1[1]已知(AB,CD)=-1,證明:

        證明因?yàn)?/p>

        所以

        AC·BD+AD·BC=0.

        (1)

        如圖1,可得

        將式(2),式(3)代入式(1),得

        AC·(CD-CB)-(CA-CD)·BC=0,

        化簡整理得

        2CA·CB=CD(CA+CB),

        例2[2]證明平均不等式:

        圖3

        證明如圖3,過圓心O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E,連結(jié)CE.由AC=a,BC=b,得

        又由CP是⊙O的切線,得

        CP2=CB·CA=ab,

        又由CE≥OC,得

        (2)在Rt△OPC中,由OC≥CP,得

        (3)在Rt△CDP中,由CP≥CD,得

        將過圓心的割線推廣為不過圓心的割線時(shí),點(diǎn)D還是不是點(diǎn)C對(duì)于點(diǎn)A,B的調(diào)和共軛點(diǎn)呢?

        (2001年初中CMO競賽試題)

        圖4

        證明連結(jié)AM并延長交⊙O于點(diǎn)N,連結(jié)BM,CN.由CP,CQ分別為⊙O的切線,連結(jié)OP,OQ,得P,O,Q,C這4點(diǎn)共圓.又因?yàn)镻,A,Q,N這4點(diǎn)共圓,所以

        OM·MC=PM·MQ=AM·MN.

        根據(jù)交弦定理的逆定理,得A,O,N,C這4點(diǎn)共圓.在圓AONC中,由OB=ON,得

        ∠1=∠2(等弦上的圓周角相等).

        因?yàn)?/p>

        ∠ABO+∠OBC=180°,

        ∠OAB+∠ONC=180°,

        又OB=OA,得∠OBA=∠OAB,從而

        ∠OBC=∠ONC

        所以

        △BOC≌△NOC,

        從而

        CB=CN.

        于是

        △BMC≌△NMC,

        ∠3=∠4.

        ∠3+∠5=90°,∠4+∠6=90°,

        所以

        ∠5=∠6.

        綜上所述,MD,MC分別為△AMB內(nèi)角∠AMB與外角∠BMN的角平分線,即C,D調(diào)和分割點(diǎn)A,B,從而

        (此文為安康學(xué)院大學(xué)生科技創(chuàng)新項(xiàng)目(2009AKXYDXS07);陜西普通本科高等學(xué)校教學(xué)改革研究項(xiàng)目地方院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)人才培養(yǎng)模式創(chuàng)新研究(09BY70)部分成果.)

        [1] 朱德祥,朱維宗.高等幾何[M].2版.北京:高等教育出版社,1983:61.

        [2] 趙臨龍.兩正數(shù)四種平均的幾何統(tǒng)一表示及加強(qiáng)[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007(3):48-50.

        [3] 李文銘,羅增儒,趙臨龍.初等幾何教學(xué)基礎(chǔ)[M].西安:陜西科學(xué)技術(shù)出版社,2003:164.

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