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(射陽(yáng)縣教育局教研室 江蘇射陽(yáng) 224300)

“平均變化率”優(yōu)質(zhì)課競(jìng)賽中幾個(gè)精彩片斷的摘錄與點(diǎn)評(píng)

●王克亮

(射陽(yáng)縣教育局教研室 江蘇射陽(yáng) 224300)

近日,江蘇省鹽城市舉行了高中數(shù)學(xué)新課程優(yōu)質(zhì)課競(jìng)賽,課題統(tǒng)一為蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)(選修2-2)》第1.1.1節(jié)“平均變化率”,筆者有幸作為評(píng)委聆聽了11位參賽者的課.下面是參加競(jìng)賽的課中一些精彩片斷的摘錄與點(diǎn)評(píng).

1 關(guān)于起始新課的導(dǎo)入

片斷1師：(在播放一段山車運(yùn)動(dòng)視頻的同時(shí))這是世界上最高的山車,它啟動(dòng)時(shí)可在4 s內(nèi)從0 km/h加速到190 km/h，在8 s內(nèi)沖到139 m的高空，減速繞過頂端彎道，再垂直俯沖而下，第2次時(shí)速?zèng)_到190 km/h，最后20 s內(nèi)在磁鐵剎車的作用下穿過100 m的水平滑道，緩慢平穩(wěn)地將游客帶到終點(diǎn)…….請(qǐng)問:山車在運(yùn)行過程中,有哪些量在發(fā)生變化?

生:位移、速度、高度.

師:對(duì)!山車在運(yùn)行過程中位移的改變、速度的增減、高度的升降等這些具體可視現(xiàn)象中概括出來的運(yùn)動(dòng)過程中變量的變化情況,就是新的一章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”將要研究的問題.恩格斯說過:“只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅僅表明狀態(tài),而且也表明過程:運(yùn)動(dòng).”下面就一起來學(xué)習(xí)新的內(nèi)容并深刻體會(huì)恩格斯的話的含義.

點(diǎn)評(píng)作為本章的起始課,該導(dǎo)入片斷激活了蘇教版教材中“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的章頭圖,將學(xué)生帶入驚險(xiǎn)刺激的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)景,并適時(shí)地拋出恩格斯的話,讓學(xué)生初步領(lǐng)略本章的精髓,這能充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和急盼探索的欲望,體現(xiàn)了教材的編寫意圖.

2 關(guān)于問題情境的創(chuàng)設(shè)

片斷2師：世界充滿著變化,有些變化幾乎不被人們所察覺,而有些變化卻讓人們發(fā)出感嘆與驚呼.

表1 氣溫變化表

請(qǐng)大家看表1,某市2009年4月20日的最高氣溫為33.4℃,而4月19日和4月18日的最高氣溫分別22.4℃和18.6℃,短短2天時(shí)間,氣溫陡增了14.8℃,悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是,如果將該市2009年3月18日的最高氣溫3.5℃與4月18日的最高氣溫18.6℃進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)兩者溫差為15.1℃,甚至超過了14.8℃,而人們卻沒有發(fā)出上述感嘆,這是什么原因呢?

請(qǐng)同學(xué)再看一個(gè)著名的實(shí)驗(yàn)(用多媒體播放一個(gè)flash動(dòng)畫)：

第1次實(shí)驗(yàn) :把青蛙放進(jìn)冷水鍋中,用文火慢慢加熱直至沸騰,青蛙由于感受不到悄悄逼近的危險(xiǎn),慢慢耗盡了體力,等到滅頂之災(zāi)降臨的時(shí)候,已經(jīng)無力躍起了,最后不得不慘死鍋中.

第2次實(shí)驗(yàn):把青蛙放進(jìn)煮沸的熱鍋里,青蛙由于驟然受熱難以忍受,奮力一躍就跳出了熱鍋.

請(qǐng)大家思考:從數(shù)學(xué)角度又如何解釋“水煮青蛙”的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象呢？

點(diǎn)評(píng)在蘇教版教材中,“氣溫陡增”這個(gè)案例既是本章引言的一部分,又是第1小節(jié)的引例.日常生活中的氣溫變化,人人都有親身體驗(yàn),能引起學(xué)生的共鳴,是一個(gè)很好的素材.在11節(jié)競(jìng)賽課中,有10位參賽者直接運(yùn)用了這個(gè)案例.

另外,《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)導(dǎo)數(shù)的教學(xué)建議是:通過大量實(shí)例的分析,經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程,了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及內(nèi)涵.作為本章的第1節(jié)課,更需要通過一些實(shí)例,讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)、反思和一般化的過程來構(gòu)建平均變化率這一概念,所以在教學(xué)中最好再補(bǔ)充一些有價(jià)值的例子.筆者注意到,所有的參賽教師都列舉了其他的如青蛙實(shí)驗(yàn)、股指跳水、房?jī)r(jià)暴漲、GDP猛增、火車提速、投資收益、汽車性能等一些貼近學(xué)生生活的實(shí)例,這為后面知識(shí)的形成作好了鋪墊.

3 關(guān)于知識(shí)概念的形成

片斷3師：現(xiàn)在討論剛才提到的氣溫變化問題,除了用表格外,還有什么數(shù)學(xué)工具能直觀地反映上述氣溫的變化情況呢?

生:圖像.

圖1

師:很好!下面試著把這個(gè)圖像作出來(引導(dǎo)學(xué)生作圖,如圖1所示,過程略).

從圖像中可以直觀地看出,曲線段AB相對(duì)平緩,而曲線段BC比較陡峭.下面需要研究的問題是:能否從數(shù)量關(guān)系上來刻畫曲線的“陡峭”程度呢?請(qǐng)大家先自己思考,再小組討論后發(fā)表意見.

(約3分后,學(xué)生舉手發(fā)言.)

生1:看AB,BC這2段上的“天平均變化溫度”.

生2:連結(jié)AB與CD,比較這2條線段的斜率.

師:這2位同學(xué)非常愛動(dòng)腦筋,他們想到了2種不同的量化方法.首先按照生1的想法來量化一下看看(師生共同完成了表2).

表2 氣溫隨時(shí)間的變化表

師:從表2中不難發(fā)現(xiàn),BC段的天平均變化溫度要比AB段高得多,因而對(duì)應(yīng)的圖像比較陡峭.下面請(qǐng)大家再用生2的想法算算看.

(僅幾秒時(shí)間就有不少學(xué)生說兩者的運(yùn)算結(jié)果是一樣的.)

師:我們發(fā)現(xiàn)這2位同學(xué)雖然思考問題的角度不同,但卻有異曲同工之感.

(接著,教師引領(lǐng)學(xué)生提煉出平均變化率這一概念,并推廣到一般函數(shù),這些均從略.)

點(diǎn)評(píng)平均變化率這一概念的形成是本節(jié)課的核心所在,其處理方式可體現(xiàn)教者的教學(xué)思想與理念.在該片斷中,教師未作任何提示,放手讓學(xué)生來探究.當(dāng)學(xué)生從數(shù)和形不同的角度提出了2種方案后,教師引導(dǎo)學(xué)生通過運(yùn)算來體會(huì)這2種想法的實(shí)質(zhì)的一致性,然后自然地建構(gòu)出新的概念.這符合最近發(fā)展區(qū)的認(rèn)知規(guī)律,一切都顯得順理成章,絲毫沒有強(qiáng)加之意,同時(shí)也具有科學(xué)性,是一種較理想的處理方法.

4 關(guān)于書中例題的教學(xué)

片斷4師:首先來看生活中的2個(gè)例子.

例1某嬰兒從出生到第12月的體質(zhì)量變化如圖2所示,試分別計(jì)算從出生到第3月以及第6月到第12月該嬰兒體質(zhì)量的平均變化率.

(答案:1 kg/月；0.4 kg/月.解析過程略.)

師:請(qǐng)大家思考:

(1)2個(gè)不同的平均變化率所對(duì)應(yīng)數(shù)值的實(shí)際意義是什么?

(2)該題中平均變化率值的大小與變量變化的快慢之間的關(guān)系如何?

(3)平均變化率的大小與曲線陡峭程度的關(guān)系如何?

圖2 圖3

(師生研討過程略.)

師:(教師課前準(zhǔn)備了實(shí)驗(yàn)器材,課上按照?qǐng)D3所示做實(shí)驗(yàn))下面做一個(gè)演示實(shí)驗(yàn),請(qǐng)同學(xué)們觀察容器甲中水的體積變化的快慢情況.演示2次后,請(qǐng)問容器甲中的水的體積是如何變化的?

眾生:減少得越來越慢.

師:對(duì)!下面請(qǐng)看例2.

例2水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙,經(jīng)過ts后,容器甲中水的體積V(t)=5×e-0.1t(單位:cm3),請(qǐng)計(jì)算:

(1)第1個(gè)10 s內(nèi)V的平均變化率；

(2)第2個(gè)10 s內(nèi)V的平均變化率.

(答案:(1)-0.316 1 cm3/s；(2)-0.116 2 cm3/s.解析過程略.)

師:請(qǐng)大家思考:

(1)2個(gè)答案中的負(fù)號(hào)有什么實(shí)際意義?

(2)2個(gè)10 s內(nèi),平均變化率的大小與容器甲中水的體積變化的快慢有著怎樣的關(guān)系?

(3)一般地,平均變化率的值與變量變化快慢的關(guān)系如何?

(師生研討過程略.)

師:下面再請(qǐng)大家看2個(gè)例子.

例3已知函數(shù)f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分別計(jì)算在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上f(x)及g(x)的平均變化率.

(答案:f(x)對(duì)應(yīng)的答案均為2；g(x)對(duì)應(yīng)的答案均為-2.解析過程略.)

師:請(qǐng)大家思考:

(1)你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[m,n]上的平均變化率有什么特點(diǎn)嗎?

(2)你能解釋其中的道理嗎?

(師生研討過程略.)

師:一次函數(shù)是這樣的,那么,二次函數(shù)又如何呢?請(qǐng)大家看例4.

例4已知函數(shù)f(x)=x2,分別計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均變化率.

(答案:4；3；2.1；2.001.解析過程略.)

師:再請(qǐng)大家思考:

(1)上述幾個(gè)答案有什么規(guī)律,其變化趨勢(shì)如何?

(2)若將區(qū)間改成[0.9,1],[0.99,1],[0.999,1],答案如何?

(3)若將區(qū)間改成[1,1+t]和[1-t,1](其中t>0),答案又如何?

(4)你想到了什么?

(師生研討過程略.)

點(diǎn)評(píng)在該片斷中,教師在每道例題的后面都用幾個(gè)問題來引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟有關(guān)知識(shí)和作必要的拓展,開發(fā)了例題的潛在價(jià)值.如此設(shè)計(jì),通過例1與例2的教學(xué),至少使學(xué)生明白了:(1)平均變化率有著廣泛的實(shí)際背景,如例1源于實(shí)際生活,而例2則基于一種物理現(xiàn)象；(2)平均變化率可正、可負(fù)、也可以為0；(3)平均變化率的絕對(duì)值越大,變量變化得越快,對(duì)應(yīng)的曲線也就越陡峭.通過例3的討論,學(xué)生不僅清楚了一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間[m,n]上的平均變化率的規(guī)律,而且還能從數(shù)與形2個(gè)角度解釋其道理.學(xué)了例4之后,學(xué)生能直觀地看到,當(dāng)區(qū)間的右端點(diǎn)或左端點(diǎn)向區(qū)間的定端點(diǎn)1逼近時(shí),所得到的平均變化率會(huì)逐步趨近數(shù)字“2”.若再借助幾何畫板來演示割線的變化趨勢(shì),則學(xué)生可進(jìn)一步感悟到:用平均變化率來量化一段曲線的陡峭程度盡管是“粗糙不精確的”,但是隨著區(qū)間的無限變小,這種量化便“從粗糙逼近精確”.

這里對(duì)例2的處理可謂別具一格,不僅用一個(gè)演示實(shí)驗(yàn)來引入,讓學(xué)生先有一個(gè)直觀的體驗(yàn),而且比教材中原例題加算了第2個(gè)10秒內(nèi)體積的變化情況,使問題有了可比性,從而增加了例題的作用.

在教材中,例4排在例3的前面,而該片斷中先講一次函數(shù)后講二次函數(shù),這樣由淺入深,顯得自然；更重要的是,上述二次函數(shù)之后的拓展,恰好為后面新課的引入留下了鋪墊.

5 關(guān)于課堂結(jié)尾的設(shè)計(jì)

片斷5師:剛才,我們學(xué)習(xí)了平均變化率這一概念,并解決了一些與之相關(guān)的問題,下面請(qǐng)大家列舉一些與平均變化率有關(guān)的例子.

生1:身高在不同年齡段的生長(zhǎng)情況；

生2:化學(xué)反應(yīng)在不同時(shí)段的變化情況；

生3:房?jī)r(jià)在不同時(shí)期的漲跌情況；

生4:強(qiáng)臺(tái)風(fēng)的移動(dòng)速度的變化情況.

(見學(xué)生不再發(fā)言,教師自己作了補(bǔ)充.)

師:請(qǐng)大家看圖4,這是德國(guó)著名的心理學(xué)家艾賓浩斯提出的遺忘曲線,這張圖說明遺忘有著什么樣的變化規(guī)律呢?

圖4

生5:學(xué)習(xí)后,剛開始知識(shí)遺忘得快,然后遺忘的速度會(huì)變得越來越慢.

師:正是如此.希望大家能從該圖中獲得一些啟示,并用來指導(dǎo)自己的學(xué)習(xí).

點(diǎn)評(píng)在新課標(biāo)中,對(duì)導(dǎo)數(shù)的呈現(xiàn)方式由以前的“極限”理論為基礎(chǔ)變成了以“體驗(yàn)”為主的做法,讓學(xué)生多列舉身邊的例子是教學(xué)參考所給的教學(xué)建議.該片斷將這一活動(dòng)安排在課的末尾,使得學(xué)生有話可說,效果不錯(cuò).而教師補(bǔ)充的遺忘曲線這個(gè)例子,既符合本節(jié)課所講的要點(diǎn),又能向?qū)W生介紹有用的知識(shí),讓學(xué)生從中得到啟發(fā),真可謂是畫龍點(diǎn)睛.

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京:人民教育出版社,2003.