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(渦陽縣第一中學(xué) 安徽渦陽 233600)

對(duì)一道奧林匹克競(jìng)賽試題的再加強(qiáng)及猜想

●張弓長(zhǎng)蒲榮飛

(渦陽縣第一中學(xué) 安徽渦陽 233600)

2007年女子數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題中有這樣一道題目：

已知a,b,c≥0，a+b+c=1，求證：

文獻(xiàn)[1]給出了該題新的證明方法，文獻(xiàn)[2]通過對(duì)其證明過程的思考，作了如下加強(qiáng)：

已知a，b，c≥0，a+b+c=1，求證:

而文獻(xiàn)[3]給出了不能再放大的證明.筆者認(rèn)為其證明過程存在2點(diǎn)值得商榷的地方.

(1)文獻(xiàn)[3]中題3向題4的轉(zhuǎn)化不是等價(jià)的.

由于0≤m2≤1，因此要使

恒成立，只需

即

(2)

恒成立.

式(2)是式(1)成立的充分條件，但是利用不等式恒成立求參數(shù)取值范圍要用到的是充要條件，必須是等價(jià)轉(zhuǎn)化才行.

(2)題4的處理值得商榷.

題4實(shí)質(zhì)上是二次不等式在一個(gè)閉區(qū)間上恒成立求參數(shù)取值范圍的問題.不能只用二次項(xiàng)系數(shù)、判別式求解,還應(yīng)考慮對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系.

1 試題的再加強(qiáng)

筆者進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，該題還可再加強(qiáng)為：

已知a，b，c≥0，a+b+c=1，求證:

證明所證不等式等價(jià)于

(3)

又a+b+c=1，式(3)可整理得

(4)

(5)

下面證明不等式(5).

-1≤m≤1,0≤m2≤1，

則

即

又0≤m2≤1，所以

2 探究之后的猜想

[1] 宋慶．一道女子數(shù)學(xué)奧林匹克試題的再證[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2008(4)：48.

[2] 周園,李青林．對(duì)一道奧林匹克競(jìng)賽試題的“改造”[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2009(1)：45-46．

[3] 李歆．對(duì)一道競(jìng)賽題系數(shù)放大問題的最后證明[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2009(10)：40-41.