●

(咸寧高級中學 湖北咸寧 437000)

賞析一道聯(lián)賽試題

●余紅丹

(咸寧高級中學 湖北咸寧 437000)

筆者有幸參與了2009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽的閱卷工作，現(xiàn)就一試解答題中的第2題給出幾種解法，供讀者參考.

題目已知p,q(q≠0)是實數(shù)，方程x2-px+q=0有2個實根α,β，數(shù)列{an}滿足a1=p，a2=p2-q，an=pan-1-qan-2(n=3，4，…)．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式(用α,β表示)；

(2)略.

解法1(構(gòu)造等比、等差數(shù)列求解)由韋達定理知α·β=q≠0.因為α+β=p,所以

an=pan-1-qan-2=(α+β)an-1-αβan-2,

整理得

an-βan-1=α(an-1-βan-2).

令bn=an+1-βan,則bn+1=αbn,因此{bn}是公比為α的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的首項為

b1=a2-βa1=p2-q-βp=

(α+β)2-αβ-β(α+β)=α2,

于是

bn=α2·αn-1=αn+1，

即

an+1=βan+αn+1.

當α=β時,

a1=p=α+α=2α,an+1=αan+αn+1，

整理得

于是數(shù)列{an}的通項公式為an=(n+1)αn.

當α≠β時,

整理得

評析上述解法采用了學生易于接受的課本知識即等比、等差數(shù)列的定義解題，源于課本但又高于課本,體現(xiàn)了數(shù)學競賽對知識能力的要求.

解法2(利用特征方程求解)由韋達定理知α·β=q≠0.因為α+β=p,所以

a1=α+β,a2=α2+β2+αβ,

特征方程λ2-pλ+q=0的2個根為α,β.

當α=β時,令通項an=(A1+A2n)αn,則由a1=2α，a2=3α2,得

解得

A1=A2=1，

故

an=(n+1)αn.

當α≠β時,令通項an=A1αn+A2βn,則由a1=α+β,a2=α2+β2+αβ,得

解得

故

評析相對于解法1而言，解法2可謂簡潔、明了，但利用特征方程求通項公式在高考中不作要求.

解法3(通過列方程組求解)由an=pan-1-qan-2,可得

an-αan-1=β(an-1-αan-2)=…=

βn-2(a2-αa1)=βn,

(1)

也可得

an-βan-1=α(an-1-βan-2)=…=

αn-2(a2-βa1)=αn.

(2)

則由式(1)×β-(2)×α可推得,當α≠β時,

當α=β時,由式(1)得

an-αan-1=αn.

同解法1,得

an=(n+1)αn.

評析考慮到α與β的地位對等關(guān)系，分解出兩類相同的結(jié)構(gòu)式，以解方程的視角求出an可謂別出新裁.

解法4(利用數(shù)學歸納法求解)由a1=α+β，a2=α2+αβ+β2,a3=pa2-qa1=α3+α2β+αβ2+β3可進行猜想

an=αn+αn-1β+…+αβn-1+βn.

(3)

下面用數(shù)學歸納法證明之.

(1)當n=1,2時,易知式(3)成立；

(2)假設n=k-1,n=k-2時,

ak-1=αk-1+αk-2β+…+βk-1,

ak-2=αk-2+αk-3β+…+βk-2

成立，則當n=k時,

ak=pak-1-qak-2=(α+β)(αk-1+…+βk-1)-

αβ(αk-2+…+βk-2)=

αk+αk-1β+…+αβk-1+βk.

綜合(1),(2)可知

an=αn+αn-1β+…+aβn-1+βn,

故

評析在證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題時，可通過逐步計算an的值來猜想其通項的規(guī)律.在數(shù)學歸納法的證明中,采用了初始值驗證,然后假設n=k-1與n=k-2均成立，促成了從假設到論證的成功.

解法5(利用迭代法求解)由解法1可得

an+1=βan+αn+1,

即an=βan-1+αn=β(βan-2+αn-1)+αn=

β2an-2+βαn-1+αn=

βn-1a1+βn-2α2+…+βαn-1+αn=

βn-1(α+β)+βn-2α2+…+βαn-1+αn=

αn+αn-1β+…+αβn-1+βn.

評析迭代法是由遞推式求通項公式最簡單、易行的一種方法.在平常教學中運用較少，這應該引起教師的重視.