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(育才中學(xué) 上海 201801)

對(duì)一道多根式賽題的探究

●龔新平

(育才中學(xué) 上海 201801)

2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試的最后一道解答題中出現(xiàn)了含3個(gè)根式的和函數(shù)最值問題，筆者發(fā)現(xiàn)往屆全國(guó)聯(lián)賽也出現(xiàn)了類似的問題！本文將首先對(duì)該問題給出4種不同的解法，同樣的方法也適用于解決含4個(gè)或更多根式的最值求解；然后筆者還將在此問題的基礎(chǔ)上嘗試編擬幾道含多根式的最值問題,供讀者參考.

(2009年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

1 4種不同的解法

解法1(調(diào)節(jié)系數(shù),適度放縮)一方面，由定義域?yàn)閤∈[0,13]可知

解得x=9.如取k=1，則a=6,b=3,c=2，此時(shí)

即當(dāng)x=9時(shí)函數(shù)取到最大值ymax=11.

解得x<9，即

在[0,9]上單調(diào)遞增，在[9,13]上單調(diào)遞減，故最大值為f(x)max=f(9)=11，最小值為

從而當(dāng)x=9時(shí)，最大值為

f(u,v,w)max=f(6,3,2)=11.

在邊界處取得最小值,為

u2+2v2+3w2=66(u,v,w>0).

(1)

代入式(1)可得

此時(shí),u=6,v=3,w=2,從而最大值為

f(u,v,w)max=f(6,3,2)=11，

在邊界處取得最小值,為

2 問題編擬

本題是由一道2003年的全國(guó)聯(lián)賽試題改編而來(lái)的.

1.7.1 有效性評(píng)價(jià)指標(biāo) ①腹痛發(fā)作天數(shù)，②腹痛程度，③伴隨癥狀，以上均于基線、治療后第1、2周記錄，治療結(jié)束評(píng)價(jià)；④中醫(yī)證候療效，基線、治療結(jié)束記錄，治療結(jié)束評(píng)價(jià)；⑤腹痛復(fù)發(fā)情況，治療結(jié)束后4周評(píng)價(jià)。以腹痛發(fā)作天數(shù)為主要評(píng)價(jià)指標(biāo)。

f(x)max=f(x0).

事實(shí)上,由Mathematica數(shù)學(xué)軟件解方程(2)，易見此時(shí)

即

分析由前面的分析不難得出最大值為

f(x)max=f(37)=6+3+2+1=12，

最小值為

可知,當(dāng)x>0時(shí)，

在[0,+∞)上也遞增，故