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(樅陽橫埠中學(xué) 安徽安慶 246725)

構(gòu)造向量證明競賽中的分式不等式

●章禮抗

(樅陽橫埠中學(xué) 安徽安慶 246725)

在數(shù)學(xué)競賽中,不等式問題一般都難以下手.這里筆者運用m·n≤|m||n|證明數(shù)學(xué)競賽中的一類分式不等式，望讀者能從中得到啟發(fā).

1 m·n≤|m||n|直接應(yīng)用

(1990年日本IMO選拔賽題)

從而

推廣(1)把條件a+b+c=1變?yōu)閍+b+c≤1,命題仍然成立.

從而

因此

(第20屆IMO試題)

例4設(shè)a，b，c，d是滿足ab+bc+cd+da=1的實數(shù)，求證：

(第31屆IMO預(yù)選題)

則

因此

其中

∑a(b+c+d)=2(ab+bc+cd+da+ac+bd)≤3(a2+b2+c2+d2).

故命題得證.

(第42屆IMO試題)

(1984年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

(1991年亞太地區(qū)數(shù)學(xué)競賽試題)

(第26屆獨聯(lián)體數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題)

3 2種形式都可證明

(第36屆IMO試題)

證法1因為abc=1,所以

于是原不等式可變形為

即

(《數(shù)學(xué)通報》2006(6)問題1 613)

解原不等式等價于

由|a|+|b|+|c|≥|a+b+c|,得

由此證明該命題可推廣為：

這類構(gòu)造向量證明分式不等式類型的方法，關(guān)鍵是要對先要證的不等式進(jìn)行仔細(xì)地分析，然后才構(gòu)造向量.