江蘇省江陰市青陽(yáng)中學(xué) (214401)
石海峰
以“圓”為背景的取值范圍問題的幾種轉(zhuǎn)化策略
江蘇省江陰市青陽(yáng)中學(xué) (214401)
石海峰
直線與圓有關(guān)的問題是江蘇高考的重點(diǎn)與難點(diǎn).其中一類是以“圓”為背景的取值范圍問題,從筆者所帶班級(jí)(物理化學(xué)班,在年級(jí)中屬于數(shù)學(xué)成績(jī)較好的)的學(xué)生做這類題目的情況來(lái)看,學(xué)生對(duì)于這塊知識(shí)點(diǎn)掌握很不到位.如果教師在授課過程中,能引導(dǎo)學(xué)生充分利用“圓”本身圖形的特殊性,解題效果必然事半功倍.筆者針對(duì)這類問題做了一些研究,總結(jié)出以“圓”為背景的取值范圍問題的幾種轉(zhuǎn)化策略:
圓是最美的圖形,既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形.圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線距離加上半徑長(zhǎng),當(dāng)直線與圓相離時(shí),最小值為圓心到直線距離減去半徑長(zhǎng);當(dāng)直線與圓相交或相切時(shí),最小值為零.因此可以根據(jù)這個(gè)性質(zhì),求圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值和最小值.
例1 (江蘇省南京市、鹽城市、連云港市2017屆高三第二次模擬考試第11題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點(diǎn)P,則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí),點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最大值為________.
圖1
定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離也是有范圍的,其最大值為定點(diǎn)與圓心的距離加半徑長(zhǎng),最小值為定點(diǎn)與圓心的距離減半徑長(zhǎng)的絕對(duì)值,根據(jù)圓的這個(gè)性質(zhì),如果將所求的范圍問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離問題,問題將迎刃而解.
例2 已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足b+c=2a,直線l:ax+by+c=0,過點(diǎn)P(2,3)作直線l的垂線,垂足為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則線段OM的長(zhǎng)度的最大值為________.
圖2
例3 (江蘇省南通市、泰州市2017屆高三第一次模擬考試第14題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知B,C為圓x2+y2=4上兩點(diǎn),點(diǎn)A(1,1),且AB⊥AC,則線段BC的長(zhǎng)的取值范圍為________.
圖3
例2和例3兩道題都是將所求的范圍問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)定點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離最值問題,這類題目的關(guān)鍵都是準(zhǔn)確的求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,可利用圓上點(diǎn)對(duì)直徑的張角為90°、垂徑定理等來(lái)快速求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
兩個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)間的距離的最大值為兩圓的圓心距加上兩圓的半徑長(zhǎng),當(dāng)兩圓相外離時(shí),最小值為兩圓的圓心距減去兩圓的半徑長(zhǎng);當(dāng)兩圓相交或相切時(shí),最小值為零;當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí),最小值為大圓半徑減去圓心距再減去小圓半徑.如果將所求的距離轉(zhuǎn)化為兩圓上兩動(dòng)點(diǎn)間的距離,則能夠很容易求出取值范圍.
圖4
本題中兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):一是平面向量加法的平行四邊形法則要比較熟悉,二是涉及到圓中的弦長(zhǎng)問題想到用垂徑定理解決.這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)都是學(xué)生掌握得比較好的,所以不少學(xué)生做起來(lái)比較順利.本題將向量的模長(zhǎng)取值范圍問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓上點(diǎn)間的距離的最值問題,如果學(xué)生能實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化,這個(gè)取值范圍問題就很容易解決.
直線和圓的位置關(guān)系有相交、相切、相離.判斷直線和圓的位置關(guān)系通常有兩種方法:一是“判別式法”:將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組,消元后得到關(guān)于x或y的一元二次方程,當(dāng)判別式Δ>0時(shí),直線與圓相交;當(dāng)Δ=0時(shí),直線與圓相切;當(dāng)Δ<0時(shí),直線與圓相離,二是“幾何法”:設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r,當(dāng)d
圓和圓的位置關(guān)系有內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.設(shè)兩圓的圓心分別為O1,O2,兩圓的半徑為r1,r2,則當(dāng)O1O2<|r1-r2|時(shí),兩圓內(nèi)含;當(dāng)O1O2=|r1-r2|時(shí),兩圓內(nèi)切;當(dāng)|r1-r2|
例6 (江蘇省2013年高考第17題第(2)問)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.
例7 (江蘇省連云港市、宿遷市、徐州市2017屆高三第三次模擬考試第13題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C:(x+2)2+(y-m)2=3.若圓C存在以G為中心的弦AB,且AB=2GO,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
本題得分率僅有13.6%.很多學(xué)生看了這道題就直接放棄,不知從哪里可求出范圍,筆者從以下兩種思路來(lái)分析本題:
圖5
本題可以通過二元二次方程表示圓(或點(diǎn))的條件、借助臨界情況(相切)時(shí)找出不等關(guān)系,求出參數(shù)的范圍.
處理參數(shù)的取值范圍問題關(guān)鍵是找到合理的不等關(guān)系.如果能充分運(yùn)用軌跡思想,利用圖形(如“圓”)的特殊性,通過數(shù)形結(jié)合,找出跟參數(shù)有關(guān)的不等式,則可簡(jiǎn)化運(yùn)算.教師在授課過程中要多與學(xué)生探討、研究,找出問題解決的突破口,尋求問題解決的等價(jià)條件,尋找最簡(jiǎn)捷的途徑解決,并養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的習(xí)慣,讓學(xué)生做一題通一類,從“題?!敝薪夥懦鰜?lái).