江蘇省江陰市青陽(yáng)中學(xué) (214401)

石海峰

以“圓”為背景的取值范圍問題的幾種轉(zhuǎn)化策略

江蘇省江陰市青陽(yáng)中學(xué) (214401)

石海峰

直線與圓有關(guān)的問題是江蘇高考的重點(diǎn)與難點(diǎn).其中一類是以“圓”為背景的取值范圍問題，從筆者所帶班級(jí)(物理化學(xué)班，在年級(jí)中屬于數(shù)學(xué)成績(jī)較好的)的學(xué)生做這類題目的情況來(lái)看，學(xué)生對(duì)于這塊知識(shí)點(diǎn)掌握很不到位.如果教師在授課過程中，能引導(dǎo)學(xué)生充分利用“圓”本身圖形的特殊性，解題效果必然事半功倍.筆者針對(duì)這類問題做了一些研究，總結(jié)出以“圓”為背景的取值范圍問題的幾種轉(zhuǎn)化策略：

一、轉(zhuǎn)化為圓上點(diǎn)到直線的距離的最值問題

圓是最美的圖形,既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線距離加上半徑長(zhǎng)，當(dāng)直線與圓相離時(shí)，最小值為圓心到直線距離減去半徑長(zhǎng)；當(dāng)直線與圓相交或相切時(shí)，最小值為零.因此可以根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，求圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值和最小值.

例1 (江蘇省南京市、鹽城市、連云港市2017屆高三第二次模擬考試第11題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最大值為________.

圖1

二、轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離的最值

定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離也是有范圍的，其最大值為定點(diǎn)與圓心的距離加半徑長(zhǎng)，最小值為定點(diǎn)與圓心的距離減半徑長(zhǎng)的絕對(duì)值，根據(jù)圓的這個(gè)性質(zhì)，如果將所求的范圍問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離問題，問題將迎刃而解.

例2 已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足b+c=2a，直線l:ax+by+c=0，過點(diǎn)P(2,3)作直線l的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OM的長(zhǎng)度的最大值為________.

圖2

例3 (江蘇省南通市、泰州市2017屆高三第一次模擬考試第14題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B,C為圓x2+y2=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，且AB⊥AC，則線段BC的長(zhǎng)的取值范圍為________.

圖3

例2和例3兩道題都是將所求的范圍問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)定點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離最值問題，這類題目的關(guān)鍵都是準(zhǔn)確的求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，可利用圓上點(diǎn)對(duì)直徑的張角為90°、垂徑定理等來(lái)快速求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

三、轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)間的距離的最值

兩個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)間的距離的最大值為兩圓的圓心距加上兩圓的半徑長(zhǎng)，當(dāng)兩圓相外離時(shí)，最小值為兩圓的圓心距減去兩圓的半徑長(zhǎng)；當(dāng)兩圓相交或相切時(shí)，最小值為零；當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，最小值為大圓半徑減去圓心距再減去小圓半徑.如果將所求的距離轉(zhuǎn)化為兩圓上兩動(dòng)點(diǎn)間的距離，則能夠很容易求出取值范圍.

圖4

本題中兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是平面向量加法的平行四邊形法則要比較熟悉，二是涉及到圓中的弦長(zhǎng)問題想到用垂徑定理解決.這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)都是學(xué)生掌握得比較好的，所以不少學(xué)生做起來(lái)比較順利.本題將向量的模長(zhǎng)取值范圍問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓上點(diǎn)間的距離的最值問題，如果學(xué)生能實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化，這個(gè)取值范圍問題就很容易解決.

四、轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系求最值

直線和圓的位置關(guān)系有相交、相切、相離.判斷直線和圓的位置關(guān)系通常有兩種方法：一是“判別式法”：將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，消元后得到關(guān)于x或y的一元二次方程，當(dāng)判別式Δ>0時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)Δ=0時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與圓相離，二是“幾何法”：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，當(dāng)dr時(shí)，直線和圓相離.而這兩種方法中，又以第二種方法“幾何法”運(yùn)用的較多.如果確定了直線和圓的位置關(guān)系，就可以找出d和r的不等關(guān)系，通過不等關(guān)系可以找出變量的取值范圍.

五、轉(zhuǎn)化為圓和圓的位置關(guān)系求最值

圓和圓的位置關(guān)系有內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.設(shè)兩圓的圓心分別為O1,O2，兩圓的半徑為r1,r2，則當(dāng)O1O2<|r1-r2|時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)O1O2=|r1-r2|時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)|r1-r2||r1+r2|時(shí)，兩圓外離.因此，如果能將已知條件轉(zhuǎn)化為圓和圓的位置關(guān)系，則可找到不等式，求出參數(shù)的范圍.

例6 (江蘇省2013年高考第17題第(2)問)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

六、轉(zhuǎn)化為其它不等關(guān)系找出取值范圍

例7 (江蘇省連云港市、宿遷市、徐州市2017屆高三第三次模擬考試第13題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C:(x+2)2+(y-m)2=3.若圓C存在以G為中心的弦AB，且AB=2GO，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

本題得分率僅有13.6%.很多學(xué)生看了這道題就直接放棄，不知從哪里可求出范圍，筆者從以下兩種思路來(lái)分析本題：

圖5

本題可以通過二元二次方程表示圓(或點(diǎn))的條件、借助臨界情況(相切)時(shí)找出不等關(guān)系，求出參數(shù)的范圍.

處理參數(shù)的取值范圍問題關(guān)鍵是找到合理的不等關(guān)系.如果能充分運(yùn)用軌跡思想，利用圖形(如“圓”)的特殊性，通過數(shù)形結(jié)合，找出跟參數(shù)有關(guān)的不等式，則可簡(jiǎn)化運(yùn)算.教師在授課過程中要多與學(xué)生探討、研究，找出問題解決的突破口，尋求問題解決的等價(jià)條件，尋找最簡(jiǎn)捷的途徑解決，并養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的習(xí)慣，讓學(xué)生做一題通一類，從“題?！敝薪夥懦鰜?lái).