江蘇省盱眙中學(xué) (211700)

陳海波 朱志棟

習(xí)題教學(xué)中的變式與追問

江蘇省盱眙中學(xué) (211700)

陳海波 朱志棟

1.問題的提出

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué),是教師與學(xué)生雙邊活動的教學(xué).習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,但解題教學(xué)往往會出現(xiàn)通過大量的習(xí)題練習(xí)形成解題技巧.這樣做既不利于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng),更加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān).章建躍博士說過”數(shù)學(xué)教學(xué)中訓(xùn)練解題能力很重要,因?yàn)樗P(guān)乎學(xué)生能否進(jìn)入好的大學(xué),有一個好的前程.但這只是學(xué)生的眼前利益；邏輯思維,抽象的思想,演繹的方法,數(shù)與形空間結(jié)合而形成的宇宙萬物的觀念,歐幾里得的公理體系及其體現(xiàn)的以簡馭繁觀念,這才是數(shù)學(xué)大道,它們與學(xué)生的長期利益更加密切相關(guān).”可見數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中,我們不能只關(guān)注學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)獲得,更應(yīng)該關(guān)注學(xué)生能力的提升,智慧的獲得.怎樣讓我們的解題教學(xué)更有效果?怎樣在解題教學(xué)中更關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)?這始終應(yīng)該是我們一線教師研究的課題.本文中,筆者根據(jù)平時的教學(xué)實(shí)踐,借助一道調(diào)研試題,從變式與追問的角度談一談習(xí)題教學(xué)的粗淺看法.

數(shù)學(xué)變式教學(xué)是通過變更數(shù)學(xué)對象的某些特征來暴露數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué),也就是說,數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師通過呈現(xiàn)不同形式且相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)對象來說明數(shù)學(xué)概念,定理,命題的本質(zhì)屬性,讓學(xué)生通過比較與分析去理解數(shù)學(xué)對象的本質(zhì).變式教學(xué)對提高課堂教學(xué)效率有著十分重要的作用.通過提供變式教學(xué)情境,讓學(xué)生逐步學(xué)會變式的方法,樹立探究創(chuàng)新意識.利用變式進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué),可以使學(xué)生更快理解,鞏固和運(yùn)用所學(xué)知識培養(yǎng)學(xué)生以不變應(yīng)萬變,從萬變中找規(guī)律的數(shù)學(xué)分析能力,訓(xùn)練他們思維的深刻性,靈活性,創(chuàng)造性,進(jìn)一步提高學(xué)生的思維品質(zhì),提高客觀,系統(tǒng),靈活地觀察問題,分析問題,解決問題的能力.

問題教學(xué)是根據(jù)教學(xué)目標(biāo),精心設(shè)計(jì)一系列有效問題,把教學(xué)內(nèi)容以問題形式呈現(xiàn),以問題為導(dǎo)向,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考和研究,從而使學(xué)生獲得知識和能力的教學(xué)方式.問題化教學(xué)的中心任務(wù)是設(shè)計(jì)一個和一系列有效的問題把教學(xué)過程組織成為學(xué)生思考和研究問題的過程.問題教學(xué)的基本特征是：學(xué)生的學(xué)習(xí)以問題為導(dǎo)向和起點(diǎn),學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是研究問題和解決問題,學(xué)生的交往是以問題為中心.在教學(xué)過程中,學(xué)生帶著問題去思考和研究,新的知識在問題的解決過程中得到理解和掌握,學(xué)生的各種能力在問題解決中得到提高,學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)在解決問題中得到升華.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求kABkAC的值;

(3)試問直線BC是否過定點(diǎn),若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.

點(diǎn)評:本題是我校高三年級第二學(xué)期期初調(diào)研考試的一道解析幾何題目,得分率非常低,全班得滿分的只有10人,筆者分析了其中原因,發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)都是因?yàn)榈?問沒有做出來而影響了這道題的得分,對于第2問,因?yàn)槲覀冊谄綍r的教學(xué)中對地位一致的量和一元二次方程的韋達(dá)定理運(yùn)用的不多,從而造成第2問思維受阻.為此,在講評的時候沒有直接講評這道題目的具體解法,而是進(jìn)行了如下的教學(xué)設(shè)計(jì).

2.教學(xué)過程設(shè)計(jì)

問題1 過點(diǎn)P(-2,0)作⊙C1:(x-5)2+(y-3)2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,你有哪些方法求直線AB的方程.

設(shè)計(jì)意圖:由于是高三復(fù)習(xí)課,學(xué)生已經(jīng)掌握直線和圓的方程的相關(guān)知識和方法.設(shè)計(jì)具有導(dǎo)向性的問題,能更快地培養(yǎng)學(xué)生分析,歸納,總結(jié)此類問題基礎(chǔ)知識、基本方法,基本數(shù)學(xué)思想.提升學(xué)生解決問題的能力,同時也在課堂的起始就提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性,為課堂活動的順利展開做好鋪墊.

追問1 過點(diǎn)P(-2,0)作⊙C1:(x-5)2+(y-3)2=1的兩條斜率分別為k1,k2的切線l1,l2,切點(diǎn)分別為A,B,且l1,l2與直線x=6的交點(diǎn)分別為C,D,題設(shè)中哪幾對量的地位是一致的?

設(shè)計(jì)意圖:借助于上面的問題作為腳手架,層層深入設(shè)置追問,能培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力,創(chuàng)造力,判斷力,還能全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),讓學(xué)生真正成為課堂的主人,提高學(xué)生思維的深刻性,凸顯思維教學(xué)的層次.

追問2 上述問題中每對地位一致的量所滿足的代數(shù)式子分別是什么?怎樣求解出這些量?

追問3 點(diǎn)P(-2,0)還可以變成哪些數(shù)學(xué)對象中的定點(diǎn)去研究?

設(shè)計(jì)意圖:把問題一般化,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用歸納和類比的方法把一個具體點(diǎn)變?yōu)橹本€、圓、橢圓、拋物線、函數(shù)圖像、數(shù)列等數(shù)學(xué)對象中的點(diǎn)去研究,不僅能夠提高學(xué)生思維的深刻性,更能提高學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,培養(yǎng)和提高學(xué)生思維的廣寬性.

點(diǎn)評：在學(xué)生回答第一個問題后,教師通過追問,把教學(xué)對象的研究從特殊類比到特殊,從特殊推廣到一般,并且這種推廣是學(xué)生主動構(gòu)建的,這不僅使得學(xué)生對這個版塊的知識有了一個整體性的認(rèn)識,更能揭示出這類問題的本質(zhì),從而能夠在高層次上提升思維能力.

追問5 點(diǎn)P(x0,y0)還可以變成哪些數(shù)學(xué)對象中的動點(diǎn)去研究?

變式3 (2014廣東理改編)已知橢圓2x2+y2=1,任意兩條互相垂直的切線交點(diǎn)為P,求P的軌跡方程.

3.結(jié)束語

在本教學(xué)設(shè)計(jì)中,針對一道調(diào)研考試錯誤率高的試題,沒有去針對題目就題講題,而是通過設(shè)計(jì)一堂涉及考查知識點(diǎn)的變式與追問的課,在本教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施中,學(xué)生的知識得到強(qiáng)化,能力得到提升,智慧得到增長,具有一定的借鑒意義.

變式與追問教學(xué)中,以問題為導(dǎo)向,以變式為媒介,促進(jìn)學(xué)生主動思考與探究.有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.特別是提出一些能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì),富有挑戰(zhàn)性的變式和數(shù)學(xué)問題,可以極大地激發(fā)學(xué)生探究熱情；有利于改變學(xué)生不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣,在變式與追問的教學(xué)平臺上,以問題為驅(qū)動,以變式為平臺,以學(xué)生活動為中心,構(gòu)建開放的學(xué)習(xí)環(huán)境.通過變式與問題的研究,給每一個學(xué)生提供選擇、實(shí)踐、思考、研究,參與活動的機(jī)會,讓學(xué)生獨(dú)立思考,自主探究,合作交流,將被動的接受式學(xué)習(xí)方式變?yōu)橹鲃訕?gòu)建的學(xué)習(xí)方式；有利于學(xué)生對知識的理解.從數(shù)學(xué)發(fā)展過程看,數(shù)學(xué)的發(fā)展史是一部不斷提出問題和解決問題的歷史.數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法都是在數(shù)學(xué)題目和數(shù)學(xué)問題過程中形成和發(fā)展起來的.變式與追問教學(xué)方法使學(xué)生通過思考和研究,探尋數(shù)學(xué)知識的形成與發(fā)展的過程,探索數(shù)學(xué)本質(zhì),使學(xué)生對知識的理解更加深刻；有利于有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.思維從解題和解決問題開始,沒有問題就沒有數(shù)學(xué)思維,學(xué)生的思維活動是在解題和解決問題過程中展開的.在變式與追問教學(xué)中,學(xué)生帶著問題去思考研究,學(xué)生的分析問題、解決問題、提出問題的能力能顯著提高,能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

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[3]吳 彤.問題導(dǎo)思促進(jìn)學(xué)生知識內(nèi)化[J].數(shù)學(xué)通報(bào)2017(1):22-25.