江蘇省常熟中學(xué) (215500)
王 波
不等式恒成立(有解)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換策略
江蘇省常熟中學(xué) (215500)
王 波
江蘇省常熟中學(xué)參加了由蘇錫常鎮(zhèn)四市統(tǒng)一的高三第一次模擬考試,學(xué)校繼續(xù)在蘇州大市領(lǐng)跑,筆者特別關(guān)心數(shù)學(xué)一模的考試分析,通過(guò)對(duì)本班(物化班)和平行班的分析,得出了學(xué)校在難題上領(lǐng)先其他兄弟學(xué)校的結(jié)論,說(shuō)明平時(shí)在中上等題上備課組所做的工作是充分的,特別是第19題導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,不等式恒成立(有解)問(wèn)題一直是考試的重點(diǎn)和難點(diǎn),主要有變量分離、函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)圖像等幾種辦法,近幾年不等式恒成立問(wèn)題頻頻亮相于各地的高考及模擬題中,現(xiàn)通過(guò)例題的多種解法和大家一起探討一下不等式恒成立(有解)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換策略.
(2017蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實(shí)數(shù),且為常數(shù)).
(1)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.
第(1)問(wèn)略,第(2)問(wèn)等價(jià)轉(zhuǎn)換成當(dāng)x>1時(shí)f(x)≥0,當(dāng)0 (2)當(dāng)0 綜上所述,0 教學(xué)反思:這一道是用了分離變量和羅必塔法則來(lái)求解恒成立問(wèn)題,在江蘇高考中這一種解法是沒(méi)有分?jǐn)?shù)的,因?yàn)榱_必塔法則是大學(xué)里的內(nèi)容,超出了考試大綱的范圍,在這一次蘇錫常鎮(zhèn)的一??荚囍?,如果用了這種方法,也是沒(méi)有分?jǐn)?shù)的,所有我們要對(duì)學(xué)生說(shuō)明恒成立問(wèn)題到最后需要用羅必塔法則的,要重新用另外的方法去做題. 解法2:(函數(shù)性質(zhì))第(2)問(wèn)等價(jià)轉(zhuǎn)換成當(dāng)x>1時(shí)f(x)≥0;當(dāng)0 x(1,x0)x0(x0,+∞)f′(x)-0+f(x)減極小值增 所以f(x) x(0,x0)x0(x0,1)f′(x)+0-f(x)增極大值減 所以f(x)>f(1)=0,當(dāng)x∈(x0,1),矛盾. 綜上所述,0 教學(xué)反思:以上解法是大部分同學(xué)做的一種方法,很多同學(xué)扣分的原因在于對(duì)于極值點(diǎn)存在性沒(méi)有去證明,而且要證明唯一性,所以必須利用零點(diǎn)存在定理加單調(diào)性去證明,解題思路要嚴(yán)密,完美.當(dāng)然還有一種非常類似的解法可以和大家分享. 當(dāng)0 (2)當(dāng)21. x(1,x0)x0(x0,+∞)f(x)-0+f(x)減極小值增 所以當(dāng)x∈(1,x0),f(x) 教學(xué)反思:解法3比解法2好,因?yàn)檫@樣處理,零點(diǎn)可以直接求出,列表求單調(diào)性比較容易,函數(shù)的值域很容易可以看出,我們引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí),要比較這兩種辦法的優(yōu)缺點(diǎn),從而在今后的教學(xué)與測(cè)試中,對(duì)這類問(wèn)題有非常深刻的認(rèn)識(shí),達(dá)到舉一反三的效果.最后還有一種辦法也是非常經(jīng)典的. 解法4:(變形恒成立問(wèn)題)第(2)問(wèn)等價(jià)轉(zhuǎn)換成當(dāng)x>1時(shí),f(x)≥0;當(dāng)0 令ω(x)=x2+(2-2a)x+1,對(duì)稱軸x=a-1,當(dāng)a-1≤1,即0ω(1)=4-2a>0,所以φ′(x)>0恒成立,φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,φ(x)>φ(1)=0得證.當(dāng)2 x(1,x0)x0(x0,+∞)φ′(x)-0+φ(x)減極小值增 所以當(dāng)x∈(1,x0),φ(x)<φ(1)=0,矛盾. (2)當(dāng)0 當(dāng)20)知存在x0∈(0,1),使得ω(x0)=0. x(0,x0)x0(x0,1)φ′(x)+0-φ(x)增極大值減 所以當(dāng)x∈(1,x0),φ(x)>φ(1)=0,矛盾.