亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        不等式恒成立(有解)問題的轉(zhuǎn)換策略

        2017-12-22 03:14:33江蘇省常熟中學215500
        中學數(shù)學研究(江西) 2017年11期
        關鍵詞:最值單調(diào)導數(shù)

        江蘇省常熟中學 (215500)

        王 波

        不等式恒成立(有解)問題的轉(zhuǎn)換策略

        江蘇省常熟中學 (215500)

        王 波

        江蘇省常熟中學參加了由蘇錫常鎮(zhèn)四市統(tǒng)一的高三第一次模擬考試,學校繼續(xù)在蘇州大市領跑,筆者特別關心數(shù)學一模的考試分析,通過對本班(物化班)和平行班的分析,得出了學校在難題上領先其他兄弟學校的結論,說明平時在中上等題上備課組所做的工作是充分的,特別是第19題導數(shù)問題,不等式恒成立(有解)問題一直是考試的重點和難點,主要有變量分離、函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)圖像等幾種辦法,近幾年不等式恒成立問題頻頻亮相于各地的高考及模擬題中,現(xiàn)通過例題的多種解法和大家一起探討一下不等式恒成立(有解)問題的轉(zhuǎn)換策略.

        1.單變量的不等式恒成立(有解)問題

        (2017蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實數(shù),且為常數(shù)).

        (1)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;

        (2)若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

        第(1)問略,第(2)問等價轉(zhuǎn)換成當x>1時f(x)≥0,當0

        (2)當0

        綜上所述,0

        教學反思:這一道是用了分離變量和羅必塔法則來求解恒成立問題,在江蘇高考中這一種解法是沒有分數(shù)的,因為羅必塔法則是大學里的內(nèi)容,超出了考試大綱的范圍,在這一次蘇錫常鎮(zhèn)的一??荚囍?,如果用了這種方法,也是沒有分數(shù)的,所有我們要對學生說明恒成立問題到最后需要用羅必塔法則的,要重新用另外的方法去做題.

        解法2:(函數(shù)性質(zhì))第(2)問等價轉(zhuǎn)換成當x>1時f(x)≥0;當0

        x(1,x0)x0(x0,+∞)f′(x)-0+f(x)減極小值增

        所以f(x)

        當20(因為令n(a)=ea+1-2a,n′(a)=ea-2>0,所以n(a)>n(2)>0),又因為m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以由零點存在定理,存在x0∈(0,1),使得m(x0)=0.

        x(0,x0)x0(x0,1)f′(x)+0-f(x)增極大值減

        所以f(x)>f(1)=0,當x∈(x0,1),矛盾.

        綜上所述,0

        教學反思:以上解法是大部分同學做的一種方法,很多同學扣分的原因在于對于極值點存在性沒有去證明,而且要證明唯一性,所以必須利用零點存在定理加單調(diào)性去證明,解題思路要嚴密,完美.當然還有一種非常類似的解法可以和大家分享.

        (1)當01時,m′(x)>m(1)=2-a>0恒成立,所以m(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,m(x)>m(1)=2-a>0,所以f′(x)>0恒成立,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)>f(1)=0得證.

        當0m(ea-2)=-ea-2+1>0,所以f′(x)>0恒成立,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,f(x)

        (2)當21.

        x(1,x0)x0(x0,+∞)f(x)-0+f(x)減極小值增

        所以當x∈(1,x0),f(x)

        教學反思:解法3比解法2好,因為這樣處理,零點可以直接求出,列表求單調(diào)性比較容易,函數(shù)的值域很容易可以看出,我們引導學生解題時,要比較這兩種辦法的優(yōu)缺點,從而在今后的教學與測試中,對這類問題有非常深刻的認識,達到舉一反三的效果.最后還有一種辦法也是非常經(jīng)典的.

        解法4:(變形恒成立問題)第(2)問等價轉(zhuǎn)換成當x>1時,f(x)≥0;當0

        令ω(x)=x2+(2-2a)x+1,對稱軸x=a-1,當a-1≤1,即0ω(1)=4-2a>0,所以φ′(x)>0恒成立,φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,φ(x)>φ(1)=0得證.當2

        x(1,x0)x0(x0,+∞)φ′(x)-0+φ(x)減極小值增

        所以當x∈(1,x0),φ(x)<φ(1)=0,矛盾.

        (2)當00,φ′(x)>0恒成立,φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,φ(x)<φ(1)=0得證.

        當20)知存在x0∈(0,1),使得ω(x0)=0.

        x(0,x0)x0(x0,1)φ′(x)+0-φ(x)增極大值減

        所以當x∈(1,x0),φ(x)>φ(1)=0,矛盾.

        綜上所述,0

        教學反思:這種方法中二次函數(shù)的零點存在問題不用去證明,由圖像即知,相比較前幾種方法,求導以后沒有超越函數(shù),分子是二次函數(shù),很多同學利用根的分布很容易處理二次函數(shù)的正負問題,容易得到原函數(shù)的單調(diào)性,也避免了求二階導數(shù).所以在教學中,要引導學生打開思路,多去嘗試各種方法,比較各種方法的優(yōu)劣,利用最容易求導的函數(shù)去研究函數(shù)的單調(diào)性和值域問題,從而加深對導數(shù)的理解.

        2.多變量的不等式恒成立(有解)問題

        (1)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;

        (2)若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立,求實數(shù)a的取值范圍.

        命題“若?x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立”等價于“當x∈[e,e2]時,有f(x)min≤

        教學反思:這種解法主要是先轉(zhuǎn)化成一個變量的恒成立問題,再利用函數(shù)性質(zhì)去解決恒成立問題,求函數(shù)的最小值時利用分類思想,可以說這題的分類討論思想非常典型,可以把高中的知識融會貫通,給學生以醍醐灌頂?shù)母杏X,當然這道題還可以利用變量分離思想,簡化解題步驟.

        教學反思:通過分離變量,恒成立問題很容易求解,前提是變量分離以后函數(shù)的最值好求,如果最值要用羅必塔法則去求,那么這道題必須用函數(shù)性質(zhì)去研究恒成立問題,在教學中,我們要用例題充分展示兩種方法的優(yōu)劣程度,進而提高學生的解題能力.

        3.不等式恒成立(有解)問題的一般方法和主要思路

        第一步:先把多變量問題分解成求每一個單變量問題的恒成立(有解)問題.

        第二步:當對每一個變量做恒成立(有解)問題時,另一個變量看成是一個參數(shù).

        第三步:對每個變量研究恒成立(有解問題)時,我們可以用兩種方法考慮,(1)變量分離法,一邊是參數(shù),另一邊是變量,盡量分離成函數(shù)的最值容易求的形式.(2)函數(shù)性質(zhì)法,研究帶有參數(shù)的函數(shù)最值問題,盡量把函數(shù)轉(zhuǎn)換成一階導數(shù),按照參數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性.如果一階導數(shù)研究問題困難,那么可以進行兩階求導,最終達到極值點好求,或者容易看出有極值點的情況,比如說二次函數(shù),反比例函數(shù),直線,三次函數(shù)等,如果不好求出極值點,對于復雜函數(shù)要利用零點存在定理,證明零點存在(即極值點是存在),再去列表,研究函數(shù)單調(diào)性和最值.

        第四步:分清恒成立(有解)問題對應的函數(shù)最值,如果沒有最值要仔細考慮等號是否取得的情況.

        第五步:寫出結論,檢驗合理性.

        4.填空題中恒成立(有解)問題還可以通過圖像解決

        (2017揚州市高三期末)已知函數(shù)f(x)=x(1+a|x|)(a<0),若f(x+a)≥f(x)對任意的x∈R恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.

        圖1

        教學反思:圖像法研究恒成立問題一般在填空題中會考察,要熟練掌握一些基本函數(shù)的圖像與性質(zhì),大題中一般考察上面第三點的知識與步驟,需要課后多去反思及熟練應用,最終達到數(shù)學學習舉一反三的能力.

        5.知識梳理,總結回顧

        含參不等式的恒成立(有解)問題越來越受到高考命題者的青睞,由于新課標高考對導數(shù)應用的加強,這些不等式的恒成立(有解)問題往往與導數(shù)問題交織在一起,這在近年的高考試題中不難看出這個基本的命題趨勢.對含有參數(shù)的不等式,其破解方法主要有:分離參數(shù)法、函數(shù)性質(zhì)法、數(shù)形結合法等.

        (1)分離參數(shù)法:分離參數(shù)法是解決含參問題的基本思想之一,對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負的情況下,可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來,得到一個一端是參數(shù),另一端是變量表達式的不等式,只要研究變量表達式的性質(zhì)就可以解決問題.

        (2)函數(shù)性質(zhì)法:利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),是處理含參問題的重要數(shù)學思想方法,通過求導,確定函數(shù)的單調(diào)性,極值,并結合零點性質(zhì)確定參數(shù)的范圍.

        (3)數(shù)形結合法:數(shù)形結合是一種重要的數(shù)學思想方法,其要點是“見數(shù)想形,以形助數(shù)”以達到解決問題的目的,數(shù)形結合是破解含參不等式恒成立問題的又一主要方法.

        我們要重視方法的積累,高考復習千頭萬緒,只有夯實基礎,總結解題思路,才能在考試中立于不敗之地.

        [1]李敏.“羅必塔法則”在函數(shù)不等式恒成立中的應用[J].上海中學數(shù)學,2015(11):20-22.

        [2]鄭一平.常規(guī)的分離參數(shù)解法為何半途而廢[J].數(shù)學通訊,2014(4):12-13.

        [3]張惠.函數(shù)恒(能)成立的等價轉(zhuǎn)換問題[J].福建中學數(shù)學,2017(3):4-5.

        猜你喜歡
        最值單調(diào)導數(shù)
        單調(diào)任意恒成立,論參離參定最值
        解導數(shù)題的幾種構造妙招
        聚焦圓錐曲線中的最值問題
        數(shù)列的單調(diào)性
        巧用不等式求最值
        數(shù)列的單調(diào)性
        數(shù)列中的最值題型例講
        對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用知多少
        關于導數(shù)解法
        導數(shù)在圓錐曲線中的應用
        久久99国产乱子伦精品免费| 中文字幕一区二区三区视频| 亚洲国产一区二区三区在线观看| 国产女女精品视频久热视频 | 日韩AV无码一区二区三不卡| 成人性生交c片免费看| 精品粉嫩av一区二区三区| 国产精品原创av片国产日韩 | 国产最新AV在线播放不卡| 一区二区三区国产亚洲网站| av影片在线免费观看| 岳毛多又紧做起爽| 国产亚洲欧美日韩综合一区在线观看| 中文字幕人妻少妇美臀| 国产情侣亚洲自拍第一页| 国产精品一卡二卡三卡| 精品国产一区二区三区久久久狼 | 男人吃奶摸下挵进去啪啪软件| 国产综合久久久久| 本道无码一区二区久久激情 | 亚洲中文字幕久久精品色老板 | 亚洲乱码av中文一区二区| 丰满人妻无套中出中文字幕| 亚洲国产成人va在线观看天堂| 在线观看的网站| 自拍偷自拍亚洲精品播放| 在线观看视频日本一区二区三区| 伊人青青草综合在线视频免费播放| 欧美乱妇高清无乱码在线观看| 欧美在线日韩| 亚洲伊人伊成久久人综合| 日本熟妇人妻xxxx| 久久99精品久久久久久hb无码| 亚洲精品一区二区三区播放| 亚洲国产丝袜久久久精品一区二区| 精品久久久久久无码人妻热| 成人午夜免费无码视频在线观看| 中文字幕日韩精品中文字幕| 午夜亚洲av日韩av无码大全| 亚洲视频在线看| 亚洲国产免费一区二区|