江蘇省常熟中學 (215500)
王 波
不等式恒成立(有解)問題的轉(zhuǎn)換策略
江蘇省常熟中學 (215500)
王 波
江蘇省常熟中學參加了由蘇錫常鎮(zhèn)四市統(tǒng)一的高三第一次模擬考試,學校繼續(xù)在蘇州大市領跑,筆者特別關心數(shù)學一模的考試分析,通過對本班(物化班)和平行班的分析,得出了學校在難題上領先其他兄弟學校的結論,說明平時在中上等題上備課組所做的工作是充分的,特別是第19題導數(shù)問題,不等式恒成立(有解)問題一直是考試的重點和難點,主要有變量分離、函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)圖像等幾種辦法,近幾年不等式恒成立問題頻頻亮相于各地的高考及模擬題中,現(xiàn)通過例題的多種解法和大家一起探討一下不等式恒成立(有解)問題的轉(zhuǎn)換策略.
(2017蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實數(shù),且為常數(shù)).
(1)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.
第(1)問略,第(2)問等價轉(zhuǎn)換成當x>1時f(x)≥0,當0 (2)當0 綜上所述,0 教學反思:這一道是用了分離變量和羅必塔法則來求解恒成立問題,在江蘇高考中這一種解法是沒有分數(shù)的,因為羅必塔法則是大學里的內(nèi)容,超出了考試大綱的范圍,在這一次蘇錫常鎮(zhèn)的一??荚囍?,如果用了這種方法,也是沒有分數(shù)的,所有我們要對學生說明恒成立問題到最后需要用羅必塔法則的,要重新用另外的方法去做題. 解法2:(函數(shù)性質(zhì))第(2)問等價轉(zhuǎn)換成當x>1時f(x)≥0;當0 x(1,x0)x0(x0,+∞)f′(x)-0+f(x)減極小值增 所以f(x) x(0,x0)x0(x0,1)f′(x)+0-f(x)增極大值減 所以f(x)>f(1)=0,當x∈(x0,1),矛盾. 綜上所述,0 教學反思:以上解法是大部分同學做的一種方法,很多同學扣分的原因在于對于極值點存在性沒有去證明,而且要證明唯一性,所以必須利用零點存在定理加單調(diào)性去證明,解題思路要嚴密,完美.當然還有一種非常類似的解法可以和大家分享. 當0 (2)當21. x(1,x0)x0(x0,+∞)f(x)-0+f(x)減極小值增 所以當x∈(1,x0),f(x) 教學反思:解法3比解法2好,因為這樣處理,零點可以直接求出,列表求單調(diào)性比較容易,函數(shù)的值域很容易可以看出,我們引導學生解題時,要比較這兩種辦法的優(yōu)缺點,從而在今后的教學與測試中,對這類問題有非常深刻的認識,達到舉一反三的效果.最后還有一種辦法也是非常經(jīng)典的. 解法4:(變形恒成立問題)第(2)問等價轉(zhuǎn)換成當x>1時,f(x)≥0;當0 令ω(x)=x2+(2-2a)x+1,對稱軸x=a-1,當a-1≤1,即0ω(1)=4-2a>0,所以φ′(x)>0恒成立,φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,φ(x)>φ(1)=0得證.當2 x(1,x0)x0(x0,+∞)φ′(x)-0+φ(x)減極小值增 所以當x∈(1,x0),φ(x)<φ(1)=0,矛盾. (2)當0 x(0,x0)x0(x0,1)φ′(x)+0-φ(x)增極大值減 所以當x∈(1,x0),φ(x)>φ(1)=0,矛盾.