亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        不等式恒成立(有解)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換策略

        2017-12-22 03:14:33江蘇省常熟中學(xué)215500
        關(guān)鍵詞:最值單調(diào)導(dǎo)數(shù)

        江蘇省常熟中學(xué) (215500)

        王 波

        不等式恒成立(有解)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換策略

        江蘇省常熟中學(xué) (215500)

        王 波

        江蘇省常熟中學(xué)參加了由蘇錫常鎮(zhèn)四市統(tǒng)一的高三第一次模擬考試,學(xué)校繼續(xù)在蘇州大市領(lǐng)跑,筆者特別關(guān)心數(shù)學(xué)一模的考試分析,通過(guò)對(duì)本班(物化班)和平行班的分析,得出了學(xué)校在難題上領(lǐng)先其他兄弟學(xué)校的結(jié)論,說(shuō)明平時(shí)在中上等題上備課組所做的工作是充分的,特別是第19題導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,不等式恒成立(有解)問(wèn)題一直是考試的重點(diǎn)和難點(diǎn),主要有變量分離、函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)圖像等幾種辦法,近幾年不等式恒成立問(wèn)題頻頻亮相于各地的高考及模擬題中,現(xiàn)通過(guò)例題的多種解法和大家一起探討一下不等式恒成立(有解)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換策略.

        1.單變量的不等式恒成立(有解)問(wèn)題

        (2017蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實(shí)數(shù),且為常數(shù)).

        (1)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;

        (2)若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

        第(1)問(wèn)略,第(2)問(wèn)等價(jià)轉(zhuǎn)換成當(dāng)x>1時(shí)f(x)≥0,當(dāng)0

        (2)當(dāng)0

        綜上所述,0

        教學(xué)反思:這一道是用了分離變量和羅必塔法則來(lái)求解恒成立問(wèn)題,在江蘇高考中這一種解法是沒(méi)有分?jǐn)?shù)的,因?yàn)榱_必塔法則是大學(xué)里的內(nèi)容,超出了考試大綱的范圍,在這一次蘇錫常鎮(zhèn)的一??荚囍?,如果用了這種方法,也是沒(méi)有分?jǐn)?shù)的,所有我們要對(duì)學(xué)生說(shuō)明恒成立問(wèn)題到最后需要用羅必塔法則的,要重新用另外的方法去做題.

        解法2:(函數(shù)性質(zhì))第(2)問(wèn)等價(jià)轉(zhuǎn)換成當(dāng)x>1時(shí)f(x)≥0;當(dāng)0

        x(1,x0)x0(x0,+∞)f′(x)-0+f(x)減極小值增

        所以f(x)

        當(dāng)20(因?yàn)榱頽(a)=ea+1-2a,n′(a)=ea-2>0,所以n(a)>n(2)>0),又因?yàn)閙(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以由零點(diǎn)存在定理,存在x0∈(0,1),使得m(x0)=0.

        x(0,x0)x0(x0,1)f′(x)+0-f(x)增極大值減

        所以f(x)>f(1)=0,當(dāng)x∈(x0,1),矛盾.

        綜上所述,0

        教學(xué)反思:以上解法是大部分同學(xué)做的一種方法,很多同學(xué)扣分的原因在于對(duì)于極值點(diǎn)存在性沒(méi)有去證明,而且要證明唯一性,所以必須利用零點(diǎn)存在定理加單調(diào)性去證明,解題思路要嚴(yán)密,完美.當(dāng)然還有一種非常類似的解法可以和大家分享.

        (1)當(dāng)01時(shí),m′(x)>m(1)=2-a>0恒成立,所以m(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,m(x)>m(1)=2-a>0,所以f′(x)>0恒成立,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)>f(1)=0得證.

        當(dāng)0m(ea-2)=-ea-2+1>0,所以f′(x)>0恒成立,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,f(x)

        (2)當(dāng)21.

        x(1,x0)x0(x0,+∞)f(x)-0+f(x)減極小值增

        所以當(dāng)x∈(1,x0),f(x)

        教學(xué)反思:解法3比解法2好,因?yàn)檫@樣處理,零點(diǎn)可以直接求出,列表求單調(diào)性比較容易,函數(shù)的值域很容易可以看出,我們引導(dǎo)學(xué)生解題時(shí),要比較這兩種辦法的優(yōu)缺點(diǎn),從而在今后的教學(xué)與測(cè)試中,對(duì)這類問(wèn)題有非常深刻的認(rèn)識(shí),達(dá)到舉一反三的效果.最后還有一種辦法也是非常經(jīng)典的.

        解法4:(變形恒成立問(wèn)題)第(2)問(wèn)等價(jià)轉(zhuǎn)換成當(dāng)x>1時(shí),f(x)≥0;當(dāng)0

        令ω(x)=x2+(2-2a)x+1,對(duì)稱軸x=a-1,當(dāng)a-1≤1,即0ω(1)=4-2a>0,所以φ′(x)>0恒成立,φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,φ(x)>φ(1)=0得證.當(dāng)2

        x(1,x0)x0(x0,+∞)φ′(x)-0+φ(x)減極小值增

        所以當(dāng)x∈(1,x0),φ(x)<φ(1)=0,矛盾.

        (2)當(dāng)00,φ′(x)>0恒成立,φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,φ(x)<φ(1)=0得證.

        當(dāng)20)知存在x0∈(0,1),使得ω(x0)=0.

        x(0,x0)x0(x0,1)φ′(x)+0-φ(x)增極大值減

        所以當(dāng)x∈(1,x0),φ(x)>φ(1)=0,矛盾.

        綜上所述,0

        教學(xué)反思:這種方法中二次函數(shù)的零點(diǎn)存在問(wèn)題不用去證明,由圖像即知,相比較前幾種方法,求導(dǎo)以后沒(méi)有超越函數(shù),分子是二次函數(shù),很多同學(xué)利用根的分布很容易處理二次函數(shù)的正負(fù)問(wèn)題,容易得到原函數(shù)的單調(diào)性,也避免了求二階導(dǎo)數(shù).所以在教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生打開(kāi)思路,多去嘗試各種方法,比較各種方法的優(yōu)劣,利用最容易求導(dǎo)的函數(shù)去研究函數(shù)的單調(diào)性和值域問(wèn)題,從而加深對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解.

        2.多變量的不等式恒成立(有解)問(wèn)題

        (1)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的最小值;

        (2)若存在x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        命題“若?x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立”等價(jià)于“當(dāng)x∈[e,e2]時(shí),有f(x)min≤

        教學(xué)反思:這種解法主要是先轉(zhuǎn)化成一個(gè)變量的恒成立問(wèn)題,再利用函數(shù)性質(zhì)去解決恒成立問(wèn)題,求函數(shù)的最小值時(shí)利用分類思想,可以說(shuō)這題的分類討論思想非常典型,可以把高中的知識(shí)融會(huì)貫通,給學(xué)生以醍醐灌頂?shù)母杏X(jué),當(dāng)然這道題還可以利用變量分離思想,簡(jiǎn)化解題步驟.

        教學(xué)反思:通過(guò)分離變量,恒成立問(wèn)題很容易求解,前提是變量分離以后函數(shù)的最值好求,如果最值要用羅必塔法則去求,那么這道題必須用函數(shù)性質(zhì)去研究恒成立問(wèn)題,在教學(xué)中,我們要用例題充分展示兩種方法的優(yōu)劣程度,進(jìn)而提高學(xué)生的解題能力.

        3.不等式恒成立(有解)問(wèn)題的一般方法和主要思路

        第一步:先把多變量問(wèn)題分解成求每一個(gè)單變量問(wèn)題的恒成立(有解)問(wèn)題.

        第二步:當(dāng)對(duì)每一個(gè)變量做恒成立(有解)問(wèn)題時(shí),另一個(gè)變量看成是一個(gè)參數(shù).

        第三步:對(duì)每個(gè)變量研究恒成立(有解問(wèn)題)時(shí),我們可以用兩種方法考慮,(1)變量分離法,一邊是參數(shù),另一邊是變量,盡量分離成函數(shù)的最值容易求的形式.(2)函數(shù)性質(zhì)法,研究帶有參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題,盡量把函數(shù)轉(zhuǎn)換成一階導(dǎo)數(shù),按照參數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性.如果一階導(dǎo)數(shù)研究問(wèn)題困難,那么可以進(jìn)行兩階求導(dǎo),最終達(dá)到極值點(diǎn)好求,或者容易看出有極值點(diǎn)的情況,比如說(shuō)二次函數(shù),反比例函數(shù),直線,三次函數(shù)等,如果不好求出極值點(diǎn),對(duì)于復(fù)雜函數(shù)要利用零點(diǎn)存在定理,證明零點(diǎn)存在(即極值點(diǎn)是存在),再去列表,研究函數(shù)單調(diào)性和最值.

        第四步:分清恒成立(有解)問(wèn)題對(duì)應(yīng)的函數(shù)最值,如果沒(méi)有最值要仔細(xì)考慮等號(hào)是否取得的情況.

        第五步:寫出結(jié)論,檢驗(yàn)合理性.

        4.填空題中恒成立(有解)問(wèn)題還可以通過(guò)圖像解決

        (2017揚(yáng)州市高三期末)已知函數(shù)f(x)=x(1+a|x|)(a<0),若f(x+a)≥f(x)對(duì)任意的x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

        圖1

        教學(xué)反思:圖像法研究恒成立問(wèn)題一般在填空題中會(huì)考察,要熟練掌握一些基本函數(shù)的圖像與性質(zhì),大題中一般考察上面第三點(diǎn)的知識(shí)與步驟,需要課后多去反思及熟練應(yīng)用,最終達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)舉一反三的能力.

        5.知識(shí)梳理,總結(jié)回顧

        含參不等式的恒成立(有解)問(wèn)題越來(lái)越受到高考命題者的青睞,由于新課標(biāo)高考對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的加強(qiáng),這些不等式的恒成立(有解)問(wèn)題往往與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題交織在一起,這在近年的高考試題中不難看出這個(gè)基本的命題趨勢(shì).對(duì)含有參數(shù)的不等式,其破解方法主要有:分離參數(shù)法、函數(shù)性質(zhì)法、數(shù)形結(jié)合法等.

        (1)分離參數(shù)法:分離參數(shù)法是解決含參問(wèn)題的基本思想之一,對(duì)待含參的不等式問(wèn)題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下,可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái),得到一個(gè)一端是參數(shù),另一端是變量表達(dá)式的不等式,只要研究變量表達(dá)式的性質(zhì)就可以解決問(wèn)題.

        (2)函數(shù)性質(zhì)法:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),是處理含參問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)思想方法,通過(guò)求導(dǎo),確定函數(shù)的單調(diào)性,極值,并結(jié)合零點(diǎn)性質(zhì)確定參數(shù)的范圍.

        (3)數(shù)形結(jié)合法:數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,其要點(diǎn)是“見(jiàn)數(shù)想形,以形助數(shù)”以達(dá)到解決問(wèn)題的目的,數(shù)形結(jié)合是破解含參不等式恒成立問(wèn)題的又一主要方法.

        我們要重視方法的積累,高考復(fù)習(xí)千頭萬(wàn)緒,只有夯實(shí)基礎(chǔ),總結(jié)解題思路,才能在考試中立于不敗之地.

        [1]李敏.“羅必塔法則”在函數(shù)不等式恒成立中的應(yīng)用[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2015(11):20-22.

        [2]鄭一平.常規(guī)的分離參數(shù)解法為何半途而廢[J].數(shù)學(xué)通訊,2014(4):12-13.

        [3]張惠.函數(shù)恒(能)成立的等價(jià)轉(zhuǎn)換問(wèn)題[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2017(3):4-5.

        猜你喜歡
        最值單調(diào)導(dǎo)數(shù)
        單調(diào)任意恒成立,論參離參定最值
        解導(dǎo)數(shù)題的幾種構(gòu)造妙招
        聚焦圓錐曲線中的最值問(wèn)題
        數(shù)列的單調(diào)性
        巧用不等式求最值
        數(shù)列的單調(diào)性
        數(shù)列中的最值題型例講
        對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用知多少
        關(guān)于導(dǎo)數(shù)解法
        導(dǎo)數(shù)在圓錐曲線中的應(yīng)用
        蜜臀av一区二区三区| 日本在线视频网站www色下载| 亚洲AV乱码毛片在线播放| 国产精品久久三级精品| 日韩精品无码一区二区三区| 曰韩人妻无码一区二区三区综合部| 麻豆国产高清精品国在线| 亚洲av天堂久久精品| 国产日产桃色精品久久久| 亚洲日本精品一区二区三区| 蜜桃视频在线观看免费亚洲| 久激情内射婷内射蜜桃| 亚洲伊人久久一次| 亚洲精品国产精品系列| 一区二区三区天堂在线| 久久久久亚洲av片无码v| 久久久久中文字幕精品无码免费| 亚洲色欲色欲欲www在线| 国产av熟女一区二区三区密桃| 亚洲国产精品无码成人片久久| 一性一交一口添一摸视频| 特级毛片a级毛片在线播放www| 国产激情视频在线观看首页| 国产一级自拍av播放| 很黄很色的女同视频一区二区 | 中文字幕亚洲熟女av| 久久99久久99精品中文字幕| 无码视频一区二区三区在线观看| 东京热无码人妻中文字幕| 久久精品国产亚洲av久按摩| 成年女人免费视频播放体验区| 欧美日韩国产免费一区二区三区欧美日韩| 东京道一本热码加勒比小泽| 久久久精品人妻一区二区三区四区| 成人aaa片一区国产精品| 国产成人v爽在线免播放观看| 精品国产乱码一区二区三区| 久久久99精品成人片| 最近中文字幕视频高清| 日韩精品中文字幕 一区| 日韩精品免费一区二区三区观看 |