四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100)

余小芬 劉成龍

2017全國卷Ⅲ數(shù)學(xué)理科12題的研究*

四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100)

余小芬 劉成龍

多數(shù)高考試題立意深刻、背景公平、設(shè)計(jì)新穎，具有典型性、示范性、引領(lǐng)性，是教學(xué)研究的良好素材．研究高考試題有利于領(lǐng)會命題者意圖、弄清試題背景、回歸試題本質(zhì)、拓寬試題解法、加強(qiáng)試題變式.2017年全國卷Ⅲ數(shù)學(xué)理科12題(下文簡稱12題)具有背景公平、內(nèi)涵豐富等特點(diǎn).文中將從試題命題背景、解法、本質(zhì)和變式四個(gè)視角進(jìn)行研究，以饗讀者.

1.似曾相識燕歸來——命題背景

命題背景指命題時(shí)選取素材中含有的知識、模型、問題、文化、思想和方法等. 研究試題命題背景，有利于把握試題的本質(zhì)、拓寬試題的解法、加強(qiáng)試題的變式．常見的試題命題背景有教材背景、現(xiàn)實(shí)背景、高考背景、競賽背景、高等數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)文化背景等等.一讀完12題，給我們的感覺是熟悉、似曾相識.確實(shí)12題含有往年高考試題的影子，分析如下：

圖1

圖2

2.條條大路通羅馬——解法研究

解法研究是研究高考的最基本形式.解法研究的視角有：一題多解、多題一解、一題多用、錯(cuò)解分析等等.其中，一題多解指從不同視角對同一問題進(jìn)行分析進(jìn)而得到多種解答方法.在一題多解的過程中，需要關(guān)注解題思路的形成、解題方法的提煉、解法的邏輯表達(dá)和解題策略的優(yōu)化.通過對解法間共性與差異的分析，讓學(xué)生在認(rèn)識問題本質(zhì)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和策略的多樣性.盡管12題與前文3個(gè)例題高度相似，但12題本身具有一定創(chuàng)新性，于是解答方法上要從簡單模仿走向自發(fā)領(lǐng)悟、自覺分析，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新.

視角一 向量的數(shù)量積

圖3

圖4

圖5

(3)(線性規(guī)劃)令

視角二 解析法

圖6

3.水落石出——本質(zhì)揭示

百度百科對本質(zhì)的解釋是“事物本身所固有的根本屬性.”華羅庚教授指出“復(fù)雜的問題要善于‘退’，足夠地‘退’，退到最原始而不失重要性的地方”．“原始而不失重要性的地方”就是我們常常說的本質(zhì)．揭示事物的本質(zhì)可以使人們脫離具體的形象進(jìn)行創(chuàng)新活動(dòng).在研究12題的命題背景和解法后，很自然問到該試題的本質(zhì)是什么呢?

圖7

利用等系數(shù)和線定理，可以得到12題的優(yōu)美解：

圖8

事實(shí)上，運(yùn)用等和線定理12題可以心算，這也正好體現(xiàn)了“多想少算”的命題思路.

4.萬變不離其宗——試題變式

變式是指一種使直觀材料或者事例不斷變換所呈現(xiàn)的方式，以使其中的本質(zhì)特征恒在，非本質(zhì)特征不常出現(xiàn)的教學(xué)活動(dòng)方式．而數(shù)學(xué)解題變式，就是數(shù)學(xué)解題中，相對于某種范式(即數(shù)學(xué)材料中具體的數(shù)學(xué)思維成果，含問題情境、基本知識、知識結(jié)構(gòu)、典型問題、思維模式等)的變化形式，在數(shù)學(xué)解題過程中不斷地變更數(shù)學(xué)問題中的情景或改變思維的角度，變換問題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，配置各種實(shí)際應(yīng)用的環(huán)境等，以期暴露問題的本質(zhì)特征或內(nèi)在練習(xí)的教學(xué)方法[2]. 因此，試題變式中“我們更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)變式的共同本質(zhì)：“變化中求不變”、“求變以突出其中不變的因素.”[3]通過變換12題的“元素狀態(tài)”、“構(gòu)造原件”、“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”等，可以得到以下變式：

變式1 (1)將題中條件AB=1，AD=2變?yōu)锳B=m，AD=n，其它條件不變，則(λ+μ)max=3.

圖9 圖10

圖11

圖12

注：以上變式均可以用等系數(shù)和線定理證明，過程略.

文中從試題命題背景、解法、本質(zhì)和變式四個(gè)視角進(jìn)行了分析，得到了一些成果，希望對讀者認(rèn)識試題有所幫助.同時(shí)，對試題的立意、錯(cuò)誤解答、命制歷程等沒有分析，請有興趣的讀者繼續(xù)前行！

[1]薛世林，劉成龍．2016年高考四川理科數(shù)學(xué)卷21題的多角度分析[J]．福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017,4：4-6.

[2]鄭毓信．考試高壓下的中國數(shù)學(xué)教育：現(xiàn)狀與對策[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2007,10：23-26.

[3]江志杰．基于數(shù)學(xué)解題變式的高三教學(xué)主張[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2013,1：54-58.

四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃”項(xiàng)目(ZY16001).