揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué) (225000)

孟偉業(yè)

一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽解析幾何試題的深度探尋

揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué) (225000)

孟偉業(yè)

一、問(wèn)題的呈現(xiàn)

二、問(wèn)題的解析

由題目給出的條件“線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD的斜率為1”，可考慮運(yùn)用“點(diǎn)差法”，先求出直線AB的斜率，再設(shè)出直線AB的方程，通過(guò)直線與橢圓聯(lián)立，進(jìn)而使得問(wèn)題得以解決.下面給出解答.

在解題研究中，我們不僅要思考是否有其他解法，還應(yīng)多些追問(wèn)，對(duì)于此題我們追問(wèn)：本題有何背景，要得出定值有何特殊的限制條件呢？若沒(méi)有了這些追問(wèn)，就難以體會(huì)到問(wèn)題的活力與價(jià)值，這無(wú)疑是“入寶山而空返”.

三、問(wèn)題的背景思考

若將這個(gè)問(wèn)題研究清楚，我們就知道如何由點(diǎn)P的坐標(biāo)確定kOD.

為了書(shū)寫(xiě)方便，設(shè)AB：y=kxt，由

四、問(wèn)題的類(lèi)比思考

圓、橢圓、雙曲線、拋物線在很多性質(zhì)上具有相似性，為此我們將這一性質(zhì)類(lèi)比到圓、雙曲線、拋物線中進(jìn)行思考，考慮能否得出一些類(lèi)似的結(jié)論.

(一)類(lèi)比到圓

圖1

引申1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(x0,y0)在圓O：x2+y2=r2(r>0)上，不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與圓O交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD的斜率記為kOD.記直線PA，PB的斜率分別為kPA，kPB.若kOD·kOP=1，證明：kPA·kPB=1.

因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以kOD·kAB=-1.又kOD·kOP=1，所以kOP=-k，則y0=-kx0.

(二)類(lèi)比到雙曲線

圖2

(三)類(lèi)比到拋物線

圖3

引申3 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知異于原點(diǎn)O的點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線C：y2=2px(p>0)上，不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為D，其縱坐標(biāo)記為yD.記直線PA，PB的斜率分別為kPA，kPB.若yD·kOP=-p，試探究：kPA·kPB是否為定值.

解析：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則直線AB的方程為y=kx+t.

引申4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與橢圓(圓、雙曲線)C交于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與直線l的傾斜角互補(bǔ)的直線l′與橢圓(圓、雙曲線)C交于P，Q兩點(diǎn).記直線PA，PB，QA，QB的斜率分別為kPA，kPB，kQA，kQB，則①kPA·kPB=kQA·kQB=定值；②kPA+kQB=0，kPB+kQA=0.

對(duì)于結(jié)論①，由前面的證明過(guò)程我們發(fā)現(xiàn)P是直線l′與曲線C的交點(diǎn)即可，所以容易證得kPA·kPB=kQA·kQB=定值(這一定值是kAB·kOD的相反數(shù)).

[1]中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普及工作委員會(huì)及數(shù)學(xué)奧林匹克委員會(huì)組編.2017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊(cè)(預(yù)賽試題集錦)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社,2017.

[2]蔡玉書(shū).2016年江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)賽解析幾何試題的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2016(11).