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        一個幾何問題的證明與推廣

        2018-04-24 07:18:00安徽省旌德中學
        中學數(shù)學教學 2018年2期
        關鍵詞:極軸兩圓郵編

        安徽省旌德中學

        趙忠華 (郵編:242600)

        南京師范大學數(shù)學與計算機科學學院

        單 墫 (郵編:210024)

        我在許康華微信公眾號發(fā)了問題征解:

        (1)直線MN過定點P;

        (2)分別以AB和CD為直徑作圓,則兩圓相交弦XY中點R的軌跡是圓.

        好多天過去了,沒人給出解答,我自己給出一個證明,十分煩瑣:

        證明(1)設A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)、M(xM,yM)、N(xN,yN),

        直線AB方程:y=k(x-c)代入橢圓方程化簡得:(b2+a2k2)x2-2a2ck2x+a2c2k2-a2b2=0,

        同理

        (2)以AB為直徑的圓方程:(x-xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)=0,即x2-(xA+xB)x+xAxB+y2-(yA+yB)y+yAyB=0

        以CD為直徑的圓方程:(x-xC)(x-xD)+(y-yC)(y-yD)=0,即x2-(xC+xD)x+xCxD+y2-(yC+yD)y+yCyD=0

        由①-②可得兩圓相交弦XY方程:[(xC+xD)-(xA+xB)]x+[(yC+yD)-(yA+yB)]y+xAxB-xCxD+yAyB-yCyD=0,又

        本命題對于拋物線,雙曲線也成立,但證明均比較煩瑣,數(shù)學屆前輩單墫教授給出了一個統(tǒng)一證明,顯示了非凡功力.

        證明采用極坐標, 考慮一般的圓錐曲線. 不妨設焦點為左焦點F,x軸為極軸, 曲線方程為

        直線MN的方程為(用面積不難推出):

        MN與極軸交點P的極半徑ρ滿足

        XY是兩圓的根軸, 點(ρ,θ)到⊙M的冪為

        所以,XY的方程是

        因為連心線MN⊥公共弦XY, 所以∠PRQ=90°,R在以PQ為直徑的圓上.

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