四川成都實驗外國語學校
宿曉陽 (郵編:611731)
題1設(shè)a、b、c是正數(shù),求證:
此題是一道已有的習題,國內(nèi)流行的三本不等式專著[1]、[2]、[3]都有證明.但[1]、[2]的證明是錯誤的,[3]的證明利用了Vasile不等式.本文將給出此不等式的一個簡潔的手工證明.供參考與欣賞.同時為我們的英才教育提供一點新鮮血液!
先證明下列命題
題2設(shè)a、b、c是正數(shù),則
①
其中∑表示輪換對稱和.
證明①式兩邊平方,易知①?
②
由排序不等式 ,有
于是由上式知,欲證明②式,即證明
③
所以③式?
④
欲證明④式,即證明
⑤
3x4-4x3y-14x2y2+8xy3+24y2≥0?
(x-2y)2(3x2+8xy+6y2)≥0.
再證明題1在①中作作變換(a,b,c)→(a2,b2,c2),易知①式等價于
⑥
又由二元柯西不等式,有
(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2,
⑦
于是比較不等式⑥,⑦即知題1成立。
注:筆者在二十多年前提出并證明的下面不等式(發(fā)表在《數(shù)學通報》數(shù)學問題欄目上),
結(jié)合題1,我們提出下面不等式猜想:
設(shè)a、b、c是正數(shù),n是正整數(shù), 則
1 楊學枝.數(shù)學奧林匹克不等式研究[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社,2009
2 范建熊[越南].隋振林,譯.不等式的秘密[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社,2012
3 韓京俊.初等不等式的證明方法[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社,2011