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        例說有關(guān)圓典型問題的解法

        2008-12-01 10:08:44張玉明
        關(guān)鍵詞:外切兩圓內(nèi)切圓

        張玉明

        圓中有許多典型習(xí)題,通過這些典型習(xí)題的學(xué)習(xí),同學(xué)們將掌握圓的相關(guān)知識.

        一、有關(guān)弦、半徑、圓心到弦的距離的計算

        例1 如圖1,在△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=90°,以點C為圓心、CA為半徑的圓與AB交于點D,求AD的長.

        解:作CH⊥AB,垂足為H.

        由∠ACB=90°,AC=6,BC=8,可得AB=10.

        顯然AC 2=AH·AB,由此可得AH=3.6.

        由CH⊥AB,可得AD=2AH,所以AD=7.2.

        答:AD的長為7.2.

        評注: 解決與弦有關(guān)的問題,往往需要構(gòu)造垂徑定理的基本圖形(可稱為“徑弦三角形”)——由半徑R、圓心到此弦的距離d、弦長a的一半構(gòu)成的直角三角形.在徑弦三角形中,有R 2=d 2+ 2,所以三個量中知道兩個,就可求出第三個.徑弦三角形是有關(guān)圓的計算和證明的基本圖形,應(yīng)用廣泛,同學(xué)們在學(xué)習(xí)時要特別重視.

        二、圓心角、弧、弦關(guān)系的應(yīng)用

        例2 如圖2所示,AB是⊙O的弦,半徑OC,OD分別交AB于點E,F(xiàn),且AE=BF,請你找出 與 的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

        解: = .連接OA,OB.

        由OA=OB,可得∠OAB=∠OBA.

        再由AE=BF,可得△OAE≌△OBF,得∠AOC=∠BOD.所以 = .

        評注: 這也是一個很有趣的結(jié)論.顯然,若 = ,那么AE=BF.這和“等弧對等弦”很相似.

        三、圓周角定理的應(yīng)用

        例3 如圖3,AC為⊙O的直徑,B,D,E都是⊙O上的點,求∠A+∠B+∠C的度數(shù).

        解:連接AE.顯然∠AEC=90°.

        ∴?搖∠CAD+∠EAD+∠C=90°.

        顯然∠B=∠EAD,所以∠CAD+∠B+∠C=90°.

        評注: 如果注意到這些角所對的弧為 , , ,恰好組成半圓,很容易知道三角和為90°.同樣,∠D+∠BEC=90°.

        四、證明四個點在同一圓上

        例4 求證:菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上.

        已知:如圖4,菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O.

        求證:菱形ABCD各邊中點M,N,P,Q在以O(shè)為圓心的同一個圓上.

        證明:連接OM,ON,OP,OQ,只要能證明OM=ON=OP=OQ,就證明這四個點在同一個圓上.

        ∵四邊形ABCD是菱形,

        ∴AC⊥BD,垂足為O,且AB=BC=CD=DA.

        又∵M(jìn),N,P,Q分別是邊AB,BC,CD,DA的中點,

        ∴OM=ON=OP=OQ= AB.

        ∴M,N,P,Q四點在以O(shè)為圓心、OM為半徑的圓上.

        評注: 本題證明四點共圓的方法有普遍意義.也可以選其中三點確定一個圓,然后證明另外一點在這個圓上.

        五、直線與圓的位置關(guān)系

        例5 (1) 如圖5,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB為直徑,∠CAE=∠B,試說明AE與⊙O相切于點A.

        (2) 在(1)中,若AB為非直徑的弦,∠CAE=∠B,AE還與⊙O相切于點A嗎?請說明理由.

        解:(1) 由AB是⊙O的直徑,可得∠C=90°,∠BAC+∠B=90°.

        又由∠CAE=∠B,可得∠BAC+∠CAE=90°,即∠BAE=90°.

        ∴AE與⊙O相切于點A.

        (2) 連接AO并延長交⊙O于D,連接CD,如圖6.顯然∠D+∠CAD=90°.

        由∠D=∠B,可得∠B+∠CAD=90°.

        已知∠CAE=∠B,所以∠CAE+∠CAD=90°.

        所以∠EAD=90°.所以AE與⊙O相切于點A.

        評注: 證明直線和圓相切有兩種基本方法:一是“作半徑證垂直”,即直線和圓有公共點,連接這點和圓心,證明這條半徑與直線垂直;二是“作垂線證半徑”,即由圓心向直線作垂線,證明垂足和圓心連接的線段等于半徑.

        例6 如圖7,AB是⊙O的直徑,PA是⊙O的切線,過點B作BC∥OP交⊙O于點C,連接AC.

        (1) 求證:△ABC∽△POA.

        (2) 若AB=2,PA= ,求BC的長.(結(jié)果保留根號)

        解:(1) 由AB是⊙O的直徑,可知∠ACB=90°.

        因PA是⊙O的切線,故∠PAO=90°,∠ACB=∠PAO.

        由BC∥OP,可得∠AOP=∠ABC.所以△ABC∽△POA.

        (2) 在Rt△PAO中,PO= = .

        由(1)知△ABC∽△POA,所以 = .

        ∴BC= = = .

        例7 如圖8,在△ABC中,AC=13,BC=14,AB=15,求△ABC外接圓⊙O的半徑.

        解:作直徑AD,連接BD,作AE⊥BC,垂足為E.

        則∠DBA=∠CEA=90°,∠D=∠C.

        ∴△ADB∽△ACE,可得AC ∶ AD=AE ∶ AB.

        設(shè)CE=x.由AC 2-CE 2=AE 2=AB 2-BE 2,得132-x2=152-(14-x)2.

        解得x=5,即CE=5.所以AE=12.

        ∴ = ,即 = ,AD= .

        故△ABC外接圓⊙O的半徑為 .

        例8 如圖9,在△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,求△ABC內(nèi)切圓⊙O的半徑.

        解:設(shè)E,D為切點,連接OE,OD.由切線的性質(zhì)定理知,∠OEC=∠ODC=∠C=90°,CE=CD=OE=OD.

        ∴四邊形ODCE為正方形.

        設(shè)⊙O的半徑為r,則CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r,所以(a-r)+(b-r)=c.

        ∴r= ,即△ABC內(nèi)切圓⊙O的半徑為 .

        評注: 已知直角三角形的三邊求這個三角形的內(nèi)切圓的半徑的公式可以直接用于解題.

        例9 如圖10,點O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心,若∠A=80°,則∠BOC=().

        A. 130°B. 100°C. 50°D. 65°

        解:∵2∠OBC+2∠OCB+∠A=180°,

        ∴∠OBC+∠OCB= =50°.

        ∴∠BOC=180°-50°=130°.應(yīng)選A.

        評注: 當(dāng)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心時,∠BOC=90°+ ∠A.

        六、兩圓位置關(guān)系的識別

        例10 (1) 已知兩圓的半徑分別為3和4,圓心距為8,那么這兩個圓的位置關(guān)系是().

        A. 內(nèi)切B. 相交C. 外離D. 外切

        (2) 如果兩圓的半徑分別為3和4,圓心距為7,那么兩圓的位置關(guān)系是().

        A. 相離B. 外切C. 內(nèi)切D. 相交

        (3) 已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為2和5,圓心距O1O2=3,則這兩圓的位置關(guān)系是().

        A. 相離B. 外切C. 相交D. 內(nèi)切

        (4) 若⊙A和⊙B相切,它們的半徑分別為8 cm和2 cm,則圓心距AB為().

        A. 10 cmB. 6 cmC. 10 cm或6 cmD. 以上答案均不對

        解:此例4道題中所用到的知識點都是兩圓的位置關(guān)系的判定.解決問題的關(guān)鍵是弄清圓心距、兩圓半徑與兩圓位置關(guān)系之間的關(guān)系.本題答案依次是:(1) C (2) B (3) D (4) C

        評注: 在同一平面內(nèi)任意兩圓只存在外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種位置關(guān)系.同心圓是內(nèi)含的特殊情況.兩圓外離與內(nèi)含時,兩圓都無公共點;兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱兩圓相切;兩圓位置關(guān)系的五種情況也可歸納為三類:相離(外離和內(nèi)含);相交;相切(外切和內(nèi)切).

        七、有關(guān)弧長公式的應(yīng)用

        例11 如圖11,Rt△ABC的斜邊AB=35,AC=21,點O在AB邊上,OB=20,一個以O(shè)為圓心的圓,分別切兩直角邊BC,AC于D,E兩點,求 的長度.

        解:連接OE,OD,則四邊形ODCE為正方形,∠DOE=90°.

        在Rt△ABC中,BC= = =28.

        由OE∥CB,得△AEO∽△ACB,故 = ,由此可得OE=12.

        的長度為: =6π.

        八、綜合運用

        例12 如圖12,已知⊙O的直徑AB垂直弦CD于E,連接AD,BD,OC,OD,且OD=5.

        (1) 若BD ∶ AB=3 ∶ 5,求CD的長.

        (2) 若∠ADO ∶∠EDO=4 ∶ 1,求扇形OAC(陰影部分)的面積.(結(jié)果保留π)

        解:(1) 顯然∠ADB=90°,AB=10.

        由 = ,可得BD=6.

        由∠ADB=90°,AB⊥CD,得BD2=BE·AB,得BE=3.6.

        在Rt△EBD中,由勾股定理,得DE=4.8.所以CD=2DE=9.6.

        (2) 設(shè)∠ADO=4k°,則∠CDB=4k°.(圖12只滿足(1)中的數(shù)據(jù),對題(2)僅作參考)

        由∠ADO ∶∠EDO=4 ∶ 1,得∠EDO=k°.所以4k+4k+k=90,得k=10.

        ∴∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100°.

        ∴∠AOC=∠AOD=100°.

        S扇形OAC = ×π×52= π.

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