黑龍江
圓是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分,同時也是高考的高頻考點,但在學(xué)習本部分內(nèi)容時,常常會因忽視“安全隱患”而導(dǎo)致解題的失誤.現(xiàn)舉例加以辨析,以期能對大家解題能力的提升有所幫助.
【例1】若圓C1:x2+y2=1和圓C2:x2+y2-6x-8y-k=0沒有公共點,則實數(shù)k的取值范圍是
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A.(-9,11)
B.(-25,-9)
C.(-∞,-9)∪(11,+∞)
D.(-25,-9)∪(11,+∞)
辨析:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0能表示圓的前提條件是D2+E2-4F>0,因此若方程x2+y2-6x-8y-k=0能表示圓,則必有(-6)2+(-8)2+4k>0,即k>-25.故選D.
點評:忽視方程x2+y2-6x-8y-k=0能表示圓的必備條件是解此題最大的“隱患”.當然,本題也可借助圓心距與半徑的關(guān)系:d>r1+r2或0≤d<|r1-r2|來處理.
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A.相切 B.相交
C.相離 D.相切或相交
辨析:易知過定點M(1,1)的直線系方程k(x-1)+1-y=0僅不能表示與x軸垂直的直線x=1,而直線x=1恰恰就與圓C相切,因此直線l與圓C始終是相交的,不能相切.故選B.
點評:本題的“安全隱患”藏匿在“特殊情形”之中,不容易被挖掘到,當然該題也可利用圓心到直線的距離d與圓半徑r的關(guān)系來判斷.
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【例4】已知圓C1:x2+y2=1和圓C2:(x-3)2+(y-4)2=4,直線l:3x+4y-11=0,則下列說法正確的是
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A.l為兩圓的公共弦所在的直線
B.l為兩圓的連心線
C.l為兩圓的一條公切線
D.l上任一點引兩圓的公切線長度相等
錯解:將圓C1和C2的方程作差得(x2+y2-1)-[(x-3)2+(y-4)2-4]=0,整理得3x+4y-11=0,即直線l的方程,設(shè)兩圓的交點為M1(x1,y1),M2(x2,y2),易知點M1,M2均在直線l上,故l為C1和C2的公共弦所在的直線.故選A.
點評:該題因思維定式而產(chǎn)生“安全隱患”,誤認為兩圓C1和C2作差得到的方程永遠是兩圓公共弦所在的直線方程,而不考慮這兩個圓是否相交這一重要前提,應(yīng)引起注意.
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點評:在進行平方運算時,最大的“隱患”在于忽視了“等價性”,當然處理本題最好的方法是借助數(shù)形結(jié)合,可以成功繞過“危險地帶”.
【例6】若圓C:x2+(y-a)2=1與拋物線P:x2=2y有公共點,則實數(shù)a的取值范圍是
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A.(-∞,1] B.[-1,1]
錯解:將x2=2y代入圓C的方程并消去x整理得y2+(2-2a)y+a2-1=0(*),依題意有Δ=(2-2a)2-4(a2-1)≥0,解得a≤1.故選A.
【例7】經(jīng)過圓C1:(x-1)2+(y-2)2=1和圓C2:x2+y2=4的交點,且和直線l:3x+4y-10=0相切的圓方程為
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A.x2+y2+10x+20y-44=0
B.x2+y2=4
C.x2+y2=4或x2+y2+10x+20y-44=0
D.非上述答案
錯解:設(shè)所求圓的方程為C:(x-1)2+(y-2)2-1+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1),
辨析:本題錯在所設(shè)的圓系方程(x-1)2+(y-2)2-1+λ(x2+y2-4)=0不能表示圓x2+y2=4,而圓x2+y2=4恰好也滿足條件.
點評:利用曲線系方程解題往往能給我們帶來方便,但有時也可能會因忽視限制條件而產(chǎn)生“安全隱患”,解題時要做到揚長避短.
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C.4 D.2或4
綜合(1)和(2)可知選D.
點評:上述解題的“隱患”在于忽視了用判別式法解決某些二次曲線的交點問題是失效的!到底應(yīng)采用怎樣的方法還需依據(jù)題目的特點,具體問題具體分析.