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        數(shù)列裂項(xiàng)終不悔,只為消得式“憔悴”

        2019-08-03 08:00:40福建
        關(guān)鍵詞:裂項(xiàng)公比分式

        福建

        數(shù)列裂項(xiàng)相消求和的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))進(jìn)行分解,然后重新組合,使之在求和中能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到目的,這也是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.

        “裂項(xiàng)相消求和法”是數(shù)列求和的重要方法之一,反復(fù)出現(xiàn)在全國各省市的高考命題中,命題角度靈活多變.“裂項(xiàng)”是求和過程中的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),它的模式多樣,需要具有敏銳的觀察力、豐富的聯(lián)想、靈活的構(gòu)思和創(chuàng)造性的思維,才能根據(jù)通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)行裂項(xiàng),以達(dá)到求和的目的.裂項(xiàng)相消求和的本質(zhì)是將數(shù)列{an}的通項(xiàng)分裂成新數(shù)列鄰項(xiàng)或隔項(xiàng)的差,即an=bn-bn+1或an=bn-bn+k,進(jìn)而在求和過程中實(shí)現(xiàn)消項(xiàng)并得出結(jié)論.本文根據(jù)可裂項(xiàng)相消求和數(shù)列通項(xiàng)的特征,歸納如下類型供讀者參考.

        類型一:通項(xiàng)如型

        我們把上述類型的數(shù)列稱為分式數(shù)列,若分式數(shù)列是等比數(shù)列,直接利用公式求其前n項(xiàng)和;若分式數(shù)列不是等比數(shù)列,通項(xiàng)an的分母又是自然數(shù)積的形式,在求分式數(shù)列前n項(xiàng)和的時(shí)候,需要裂變an成兩項(xiàng)的差,使得求和時(shí)大部分的項(xiàng)能被消去,從而達(dá)到簡化和式的目的.

        【例1】(2014·全國大綱卷理·18)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=10,a2為整數(shù),且Sn≤S4.

        (Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;

        解:(Ⅰ)an=-3n+13.(過程略)

        Tn=b1+b2+…+bn

        【評析】通項(xiàng)公式an中分母雖然是兩個(gè)式子的積,但是分子次數(shù)與分母次數(shù)相同,通項(xiàng)不是真分式,無法直接裂項(xiàng),這種情況可以采用先分離常數(shù),將其化為通項(xiàng)是真分式的分式數(shù)列,然后再裂項(xiàng)求和.

        【例2】(2018·天津卷理·18)設(shè){an}是等比數(shù)列,公比大于0,其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是等差數(shù)列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.

        (Ⅰ)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

        (Ⅱ)設(shè)數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn(n∈N*),

        (i)求Tn;

        解:(Ⅰ)an=2n-1;bn=n.(過程略)

        類型二:通項(xiàng)如cn=(An+B)qn(A,B為常數(shù),且A≠0,q≠0,q≠1)型

        在學(xué)習(xí)數(shù)列求和過程中,也常會遇到形如{anbn}數(shù)列的求和({an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列),通常我們可采用錯(cuò)位相減法求和,但其過程計(jì)算量大、煩瑣.那么,能否考慮用裂項(xiàng)相消法來替代呢?答案是肯定的.

        【例3】(2014·四川卷理·19)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(n∈N*).

        (Ⅰ)若a1=-2,點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;

        解:(Ⅰ)Sn=n2-3n.(過程略)

        【例4】(2018·浙江卷理·20)已知等比數(shù)列{an}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項(xiàng).數(shù)列{bn}滿足b1=1,數(shù)列{(bn+1-bn)an}的前n項(xiàng)和為2n2+n.

        (Ⅰ)求q的值;

        (Ⅱ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

        解:(Ⅰ)q=2.(過程略)

        (Ⅱ)設(shè)cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和為Sn.

        由(Ⅰ)可知an=2n-1,

        類型三:通項(xiàng)如型

        類型四:通項(xiàng)如型

        (Ⅰ)求a3的值;

        (Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn;

        所以Sn=b1+b2+…+bn

        所以f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),因?yàn)閒(1)=0,所以f(x)>0,

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