廣東
隨著課程改革實施的推進,“新課程標準(2017版)”逐漸為一線教師所熟悉,與“舊課程標準(2013版)”相比,不論是課程體系的設置,還是具體的內容要求,都發(fā)生了不同程度的變化.其中,與空間幾何體相關的內容要求發(fā)生了較大的變化,主要體現在三個方面:第一,刪除了三視圖,以及與三視圖有關的平行投影和中心投影;第二,提高了關于球、棱柱、棱錐、棱臺表面積和體積公式的要求,行為動詞從“了解”調整為“知道”和“能用”;第三,提高了關于簡單空間圖形的要求,從“簡易組合”調整為“簡單組合”.課程標準的變化在2018年的高考試題中也有所體現,未出現與三視圖有關的試題,因此,高考備考有必要研究三視圖以外的其他題型,本文對歷年全國卷與球有關的試題進行了深入的分析,與讀者分享.
續(xù)表
通過對歷年全國卷高考試題的研究,不難發(fā)現與“球”有關的考題極具規(guī)律,重在考查常見幾何體與球組成的簡單圖形,以及常見幾何體的表面積和體積.下面結合2019年高考考試說明和全國卷高考試題具體分析“球”的考查內容、方式,以及備考策略.
2019版《普通高等學校招生全國統一考試大綱說明》(文、理相同)中與“球”有關的描述主要有“認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征”“能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖,能識別上述三視圖所表示的立體模型,會用斜二測法畫出它們的直觀圖”“了解球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式”.通過考試說明來看,高考對“球”的考查內容和形式與以往保持一致,依然會體現在對“球的結構特征”“識圖、畫圖”“表面積和體積公式”等方面的考查.
例1.(2017·全國卷Ⅲ理·8)已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為
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【備考策略】對簡單幾何體外接球的考查,多以長方體、正棱柱、正棱錐、圓柱、圓錐為考查核心,復習備考時可將幾何體分為柱體、錐體兩大類.對于長方體、正棱柱等柱體,可以利用圓柱作為載體來研究其外接球的問題,研究方法類似于例1;對于正棱錐等錐體,可以利用圓錐作為載體來研究其外接球的問題,研究方法類似于例2.反之,也可以利用圓柱的內接柱體、圓錐的內接錐體來設計一些幾何體的外接球問題,合理拓寬備考路徑.
【備考策略】對球的幾何性質的考查,以性質R2=r2+d2為考查核心,其中R為球的半徑,r為小圓的半徑,d為小圓圓心到球心的距離.復習備考時,可從兩個角度對例3進行變式設計,角度一:將球內正四棱錐替換成其他常見幾何體(如三棱錐等)或平面圖形,如截面圓(2013年卷Ⅰ文15、2012年文8)、矩形(2011年理15)等;角度二:將球內幾何體替換成球外幾何體,如將球放置于正方體上(2013年卷Ⅰ理6)等.不論幾何圖形如何變化,都可以通過培養(yǎng)學生利用截面的眼光尋找?guī)缀螆D形中的直角三角形,來強化球的幾何性質的應用.
例4.(2017·全國卷Ⅰ文·16)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為________.
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【備考策略】上述兩道試題的難點集中體現在幾何圖形的畫圖能力上,充分體現了幾何直觀素養(yǎng)的命題導向.其中,例4體現了靜態(tài)的幾何圖形,畫圖時需要引導學生選擇恰當的圖形(平面SAC或平面SBC)作為底面,例5體現了動態(tài)的幾何圖形,畫圖時需要引導學生選擇相對靜態(tài)的圖形(平面ABC)作為底面,不論哪種幾何圖形,在畫底面的直觀圖形時,都需要引導學生畫好水平基線.總之,球的復習備考要關注幾何圖形的畫法教學,培養(yǎng)學生的畫圖能力.
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A.17π B.18π
C.20π D.28π
例7.(2016·全國卷Ⅲ理·10)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是
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【備考策略】與幾何體的外接球相比,全國卷很少考查幾何體的內切球,例7的考查與內切球有一定的聯系,但是能力要求較高.作為新興題型,復習備考可以考慮從常見幾何體的內切球問題開始,掌握軸截面法和等體積法等基本方法,再復習幾何體內的最大球問題,強化分類討論的思想方法,以及平面化的研究方法,從水平軸截面和豎直軸截面兩個維度求解幾何體內最大球的半徑,突破新興題型.